Penentuan Titik Singgung antara Gains dan Lingkaran

Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada masalah penentuan titik singgung antara dua bentuk geometri yang berbeda. Dalam kasus ini, kita akan mencari titik singgung antara garis \(x-y-4=0\) (gains) dan lingkaran \(x^{2}+y^{2}-8x-8y+2y=0\).

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggunakan konsep persamaan garis dan persamaan lingkaran. Pertama, mari kita tinjau persamaan garis \(x-y-4=0\). Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk \(y=x-4\), yang menunjukkan bahwa garis ini memiliki gradien 1 dan titik potong dengan sumbu y pada titik (0, -4).

Selanjutnya, mari kita tinjau persamaan lingkaran \(x^{2}+y^{2}-8x-8y+2y=0\). Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat menulis ulang persamaan ini menjadi \(x^{2}-8x+y^{2}-8y+2=0\). Dalam bentuk ini, kita dapat melihat bahwa koefisien x dan y pada persamaan ini adalah -8, yang menunjukkan bahwa pusat lingkaran ini berada pada titik (4, 4).

Untuk menentukan titik singgung antara garis dan lingkaran, kita perlu mencari titik-titik di mana garis dan lingkaran bersinggungan. Kita dapat menggunakan konsep jarak antara titik dan garis untuk mencari titik-titik ini.

Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan rumus jarak antara titik (x1, y1) dan garis ax+by+c=0, yang diberikan oleh rumus:

\[d = \frac{{\left| ax1+by1+c \right|}}{{\sqrt{{a^{2}+b^{2}}}}}\]

Dalam kasus kita, garis memiliki persamaan \(y=x-4\), sehingga kita dapat menggantikan a=1, b=-1, dan c=-4 ke dalam rumus jarak di atas.

Setelah menghitung jarak antara titik (x1, y1) dan garis \(y=x-4\), kita dapat mencari titik-titik di mana jarak ini sama dengan jari-jari lingkaran. Jika kita menemukan titik-titik ini, maka kita dapat menyimpulkan bahwa garis dan lingkaran bersinggungan di titik-titik ini.

Dalam kasus ini, jari-jari lingkaran adalah \(\sqrt{2}\) (karena koefisien x dan y pada persamaan lingkaran adalah -8). Oleh karena itu, kita perlu mencari titik-titik di mana jarak antara titik (x1, y1) dan garis \(y=x-4\) adalah \(\sqrt{2}\).

Setelah melakukan perhitungan yang diperlukan, kita dapat menemukan titik-titik singgung antara garis dan lingkaran.