Vektor Eigen dan Perkalian Matriks

Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang vektor eigen dan perkalian matriks. Khususnya, kita akan membuktikan bahwa vektor $x=\begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix}$ merupakan vektor eigen dari matriks $A=\begin{bmatrix} 1&3\\ 3&1\end{bmatrix}$ dengan nilai eigen yang berkoresponden $\lambda =-2$. Selain itu, kita juga akan menggambarkan vektor $x$ dan hasil perkaliannya dengan matriks $A$. Vektor eigen adalah vektor non-nol yang hanya mengalami perubahan skala ketika dikalikan dengan matriks. Dalam kasus ini, kita ingin membuktikan bahwa vektor $x$ adalah vektor eigen dari matriks $A$ dengan nilai eigen $\lambda =-2$. Untuk membuktikan ini, kita perlu menunjukkan bahwa $Ax=\lambda x$. Mari kita mulai dengan mengalikan matriks $A$ dengan vektor $x$: $$ A\begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&3\\ 3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot 1 + 3\cdot (-1)\\ 3\cdot 1 + 1\cdot (-1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2\\ 2\end{bmatrix} $$ Ketika kita mengalikan vektor $x$ dengan nilai eigen $\lambda =-2$, kita juga mendapatkan: $$ \lambda x = -2\begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2\\ 2\end{bmatrix} $$ Dari perhitungan di atas, kita dapat melihat bahwa $Ax=\lambda x$, yang berarti vektor $x$ adalah vektor eigen dari matriks $A$ dengan nilai eigen $\lambda =-2$. Selanjutnya, mari kita gambarkan vektor $x$ dan hasil perkaliannya dengan matriks $A$. Vektor $x$ dapat digambarkan sebagai sebuah panah dengan titik awal di titik (0, 0) dan titik akhir di titik (1, -1). Hasil perkalian matriks $A$ dengan vektor $x$ dapat digambarkan sebagai sebuah panah dengan titik awal di titik (0, 0) dan titik akhir di titik (-2, 2). Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa vektor $x=\begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix}$ merupakan vektor eigen dari matriks $A=\begin{bmatrix} 1&3\\ 3&1\end{bmatrix}$ dengan nilai eigen $\lambda =-2$. Selain itu, kita juga telah menggambarkan vektor $x$ dan hasil perkaliannya dengan matriks $A$. Dalam kesimpulan, vektor eigen dan perkalian matriks adalah konsep penting dalam aljabar linear. Dalam contoh ini, kita telah membuktikan bahwa vektor $x$ adalah vektor eigen dari matriks $A$ dengan nilai eigen $\lambda =-2$. Selain itu, kita juga telah menggambarkan vektor $x$ dan hasil perkaliannya dengan matriks $A$. Semoga artikel ini dapat membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik.