Konvergensi Titik pada Fungsi \(f_n(x) = x^n\) di Interval [0,1]

Dalam matematika, konvergensi titik adalah konsep penting yang melibatkan urutan fungsi. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan urutan \(f_n(x) = x^n\) yang didefinisikan pada interval \(A = [0,1]\). Kami akan membahas konvergensi titik urutan ini dan menggambarkan fungsi batasnya. Pertama, mari kita lihat bagaimana \(f_n(x)\) berperilaku pada titik \(x = 1\). Untuk setiap \(n \in \mathbb{N}\), kita memiliki \(f_n(1) = 1^n = 1\). Oleh karena itu, \(\lim_{n \to \infty} f_n(1) = 1\). Dengan kata lain, saat \(n\) mendekati tak hingga, nilai \(f_n(1)\) konvergen ke 1. Namun, jika \(x \in [0,1)\), maka \(f_n(x) = x^n\) akan berperilaku berbeda saat \(n\) mendekati tak hingga. Secara khusus, \(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} x^n = 0\). Dengan demikian, urutan \(f_n(x)\) konvergen titik pada interval \(A\) ke fungsi \[f(x) = \begin{cases} 0, & \text{ jika } x \in [0,1) \\ 1, & \text{ jika } x = 1 \end{cases}\] Untuk memvisualisasikan konvergensi titik ini, kita dapat melihat grafik \(f_n(x) = x^n\) untuk beberapa nilai \(n\). Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2, grafik ini menunjukkan bagaimana fungsi \(f_n(x)\) berubah saat \(n\) meningkat. Sekarang, mari kita fokus pada titik \(x\) yang tetap di dalam interval \((0,1)\). Karena \(\lim_{n \to \infty} x^n = 0\), maka untuk setiap \(\varepsilon > 0\), ada \(K \in \mathbb{N}\) sehingga \(\left|x^n - 0\right| < \varepsilon\) untuk semua \(n \geq K\). Untuk \(\varepsilon < 1\), agar \(\left|x^K\right| = x^K < \varepsilon\), kita dapat memilih \(K > \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(x)}\). Perhatikan bahwa \(K\) jelas tergantung pada \(\varepsilon\) dan \(x\), dan terutama, semakin mendekati 1 nilai \(x\), semakin besar \(K\) yang diperlukan. Kami juga mencatat bahwa setiap \(f_n\) kontinu sementara \(f\) tidak. Dalam kesimpulan, kita telah membahas konvergensi titik urutan \(f_n(x) = x^n\) pada interval \([0,1]\) dan menggambarkan fungsi batasnya. Konsep ini penting dalam analisis matematika dan memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang.