Transformasi Linear \( T: R^{4} \longrightarrow R^{3} \)

Transformasi linear adalah konsep penting dalam aljabar linear yang melibatkan pemetaan vektor dari satu ruang vektor ke ruang vektor lainnya. Dalam artikel ini, kita akan membahas transformasi linear \( T: R^{4} \longrightarrow R^{3} \) yang didefinisikan oleh persamaan berikut: \[ \mathrm{T}\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} A x_1+A x_2-A x_3+A x_4 \\ B x_1+B x_2 \\ -C x_1+C x_3 \end{array}\right) \] a. Matriks Transformasi \( T \) Untuk menentukan matriks transformasi \( T \), kita perlu mengevaluasi \( T \) pada vektor-vektor dasar dari ruang \( R^{4} \). Dalam hal ini, vektor-vektor dasar adalah \(\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{e}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\), dan \(\mathbf{e}_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\). Evaluasi \( T \) pada vektor-vektor dasar memberikan: \[ \begin{align*} T(\mathbf{e}_1) &= \begin{bmatrix} A \\ B \\ 0 \end{bmatrix} \\ T(\mathbf{e}_2) &= \begin{bmatrix} A \\ B \\ 0 \end{bmatrix} \\ T(\mathbf{e}_3) &= \begin{bmatrix} -A \\ 0 \\ C \end{bmatrix} \\ T(\mathbf{e}_4) &= \begin{bmatrix} A \\ 0 \\ -C \end{bmatrix} \\ \end{align*} \] Dengan demikian, matriks transformasi \( T \) adalah: \[ [T] = \begin{bmatrix} A & A & -A & A \\ B & B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C & -C \end{bmatrix} \] b. Vektor Bayangan Dengan menggunakan matriks transformasi \( T \) yang telah kita tentukan sebelumnya, kita dapat menentukan vektor bayangan dengan mengalikan matriks transformasi dengan vektor \( \mathbf{M} = \begin{bmatrix} M_1 \\ M_2 \\ M_3 \\ M_4 \end{bmatrix} \). Dalam hal ini, vektor bayangan adalah: \[ \begin{bmatrix} A & A & -A & A \\ B & B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C & -C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M_1 \\ M_2 \\ M_3 \\ M_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AM_1 + AM_2 - AM_3 + AM_4 \\ BM_1 + BM_2 \\ -CM_1 + CM_3 \end{bmatrix} \] c. Bayangan Akhir dalam Arah \( x \) Jika langkah b diregang dalam arah \( x \), kita perlu mengganti \( M_1 \) dengan \( M_1 + \Delta x \), di mana \( \Delta x \) adalah perubahan dalam arah \( x \). Dengan melakukan substitusi ini, kita dapat menentukan bayangan akhir dalam arah \( x \) dengan menggunakan matriks transformasi \( T \) yang telah kita tentukan sebelumnya. Dalam artikel ini, kita telah membahas transformasi linear \( T: R^{4} \longrightarrow R^{3} \) yang didefinisikan oleh persamaan \( T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} A\mathbf{x}_1 + A\mathbf{x}_2 - A\mathbf{x}_3 + A\math