Menganalisis Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-x-6}{6-\sqrt{5 x+1}} \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep yang penting dalam mempelajari perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-x-6}{6-\sqrt{5 x+1}} \) dan melihat bagaimana kita dapat menentukan nilai batasnya. Pertama-tama, mari kita perhatikan fungsi di dalam limit tersebut. Fungsi ini memiliki bentuk pecahan dengan pembilang \(x^{2}-x-6\) dan penyebut \(6-\sqrt{5 x+1}\). Untuk menentukan nilai batasnya saat \(x\) mendekati 3, kita perlu mencari nilai fungsi saat \(x\) mendekati 3 dari kedua sisi. Ketika \(x\) mendekati 3 dari sisi kiri, yaitu \(x \rightarrow 3^{-}\), kita dapat menggantikan \(x\) dengan nilai yang sedikit lebih kecil dari 3 dalam fungsi tersebut. Misalnya, kita dapat menggunakan \(x = 2.9\). Dengan menggantikan nilai \(x\) ini ke dalam fungsi, kita dapat menghitung nilai fungsi tersebut. Selanjutnya, ketika \(x\) mendekati 3 dari sisi kanan, yaitu \(x \rightarrow 3^{+}\), kita dapat menggantikan \(x\) dengan nilai yang sedikit lebih besar dari 3 dalam fungsi tersebut. Misalnya, kita dapat menggunakan \(x = 3.1\). Dengan menggantikan nilai \(x\) ini ke dalam fungsi, kita dapat menghitung nilai fungsi tersebut. Setelah kita menghitung nilai fungsi saat \(x\) mendekati 3 dari kedua sisi, kita dapat melihat apakah nilai-nilai ini mendekati suatu nilai tertentu atau tidak. Jika nilai-nilai ini mendekati suatu nilai tertentu, maka nilai tersebut adalah nilai batas dari fungsi saat \(x\) mendekati 3. Dalam kasus ini, setelah menghitung nilai fungsi saat \(x\) mendekati 3 dari kedua sisi, kita dapat melihat bahwa nilai-nilai ini mendekati suatu nilai tertentu, yaitu 3. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-x-6}{6-\sqrt{5 x+1}} \) adalah 3. Dalam analisis ini, kita telah melihat bagaimana kita dapat menentukan nilai batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-x-6}{6-\sqrt{5 x+1}} \) dengan menggunakan pendekatan dari kedua sisi. Dengan pemahaman ini, kita dapat menerapkan konsep batas fungsi dalam berbagai konteks matematika dan memahami perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu.