Turunan Pertama dari Fungsi \( f(x)=\frac{1+\cos x}{\sin x} \)

Dalam artikel ini, kita akan membahas turunan pertama dari fungsi \( f(x)=\frac{1+\cos x}{\sin x} \) dan bagaimana kita dapat menghitungnya. Turunan pertama adalah konsep penting dalam kalkulus yang memberikan kita informasi tentang perubahan suatu fungsi pada setiap titiknya. Untuk menghitung turunan pertama dari fungsi \( f(x)=\frac{1+\cos x}{\sin x} \), kita perlu menggunakan aturan turunan. Aturan turunan yang umum digunakan adalah aturan turunan fungsi trigonometri dan aturan turunan fungsi pecahan. Pertama, mari kita terapkan aturan turunan fungsi trigonometri. Fungsi \( f(x)=\frac{1+\cos x}{\sin x} \) dapat ditulis ulang sebagai \( f(x)=\frac{1}{\sin x}+\frac{\cos x}{\sin x} \). Aturan turunan fungsi trigonometri mengatakan bahwa turunan dari fungsi trigonometri \( \sin x \) adalah \( \cos x \) dan turunan dari fungsi trigonometri \( \cos x \) adalah \( -\sin x \). Oleh karena itu, turunan dari \( \frac{1}{\sin x} \) adalah \( -\frac{\cos x}{\sin^2 x} \) dan turunan dari \( \frac{\cos x}{\sin x} \) adalah \( \frac{\sin x-\cos x}{\sin^2 x} \). Selanjutnya, mari kita terapkan aturan turunan fungsi pecahan. Aturan turunan fungsi pecahan mengatakan bahwa turunan dari fungsi pecahan \( \frac{u}{v} \) adalah \( \frac{u'v-uv'}{v^2} \), di mana \( u' \) adalah turunan dari \( u \) dan \( v' \) adalah turunan dari \( v \). Dengan menerapkan aturan turunan fungsi pecahan, kita dapat menghitung turunan pertama dari \( f(x)=\frac{1+\cos x}{\sin x} \) sebagai berikut: \( f'(x) = \frac{(-\frac{\cos x}{\sin^2 x})(\sin x) - (\frac{1}{\sin x}+\frac{\cos x}{\sin x})(\cos x)}{\sin^2 x} \) \( f'(x) = \frac{-\cos x}{\sin^2 x} - \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \) \( f'(x) = \frac{-\cos x - \cos x - \cos^2 x}{\sin^2 x} \) \( f'(x) = \frac{-2\cos x - \cos^2 x}{\sin^2 x} \) Dengan demikian, turunan pertama dari fungsi \( f(x)=\frac{1+\cos x}{\sin x} \) adalah \( \frac{-2\cos x - \cos^2 x}{\sin^2 x} \). Dalam artikel ini, kita telah membahas cara menghitung turunan pertama dari fungsi \( f(x)=\frac{1+\cos x}{\sin x} \) menggunakan aturan turunan fungsi trigonometri dan aturan turunan fungsi pecahan. Turunan pertama memberikan kita informasi tentang perubahan fungsi pada setiap titiknya.