Menyelesaikan Persamaan dalam Barisan Geometri

Barisan geometri adalah deret bilangan yang setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya dengan rasio yang sama. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang bagaimana menyelesaikan persamaan dalam barisan geometri. Pertama, mari kita lihat persamaan \( U_{3}-U_{4}=x \) dan \( U_{2}-U_{4}=y \). Dalam persamaan ini, \( U_{3} \) dan \( U_{4} \) adalah suku ke-3 dan ke-4 dalam barisan geometri, sedangkan \( U_{2} \) adalah suku ke-2. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat barisan geometri. Salah satu sifat yang penting adalah bahwa rasio antara dua suku yang berurutan adalah konstan. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rasio \( r \) untuk menghubungkan suku-suku dalam persamaan. Mari kita selesaikan persamaan pertama, \( U_{3}-U_{4}=x \). Kita dapat menulis suku ke-3 dan ke-4 dalam bentuk \( U_{3}=ar^{2} \) dan \( U_{4}=ar^{3} \), di mana \( a \) adalah suku pertama dalam barisan geometri. Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan: \( ar^{2}-ar^{3}=x \) Kita juga dapat menulis suku ke-2 dalam bentuk \( U_{2}=ar \). Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan kedua, \( U_{2}-U_{4}=y \): \( ar-ar^{3}=y \) Sekarang kita memiliki dua persamaan dengan dua variabel, \( a \) dan \( r \). Kita dapat memecahkan persamaan ini dengan mengeliminasi salah satu variabel. Misalnya, kita bisa mengeliminasi \( a \) dengan membagi kedua persamaan: \( \frac{ar^{2}-ar^{3}}{ar-ar^{3}}=\frac{x}{y} \) Sederhanakan persamaan ini: \( \frac{r^{2}-r^{3}}{r-r^{3}}=\frac{x}{y} \) Kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan \( r^{2} \) untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana: \( \frac{1-r}{1-r^{2}}=\frac{x}{y} \) Sekarang kita memiliki persamaan yang hanya mengandung satu variabel, \( r \). Kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk \( r \) dan kemudian substitusikan nilai \( r \) ke dalam salah satu persamaan awal untuk mencari nilai \( a \). Setelah kita menemukan nilai \( a \) dan \( r \), kita dapat menggunakan nilai ini untuk menyelesaikan pertanyaan yang diberikan dalam artikel ini: a. \( x+y \): Substitusikan nilai \( x \) dan \( y \) ke dalam persamaan \( x+y \). b. \( y-x \): Substitusikan nilai \( x \) dan \( y \) ke dalam persamaan \( y-x \). c. \( x \times y \): Substitusikan nilai \( x \) dan \( y \) ke dalam persamaan \( x \times y \). d. \( \frac{x}{x} \): Substitusikan nilai \( x \) ke dalam persamaan \( \frac{x}{x} \). Dengan menyelesaikan persamaan dalam barisan geometri, kita dapat menemukan nilai-nilai yang diperlukan untuk menjawab pertanyaan dalam artikel ini.