Mencari Pendapatan Maksimal dan Jumlah Barang yang Bersesuaian

Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang bagaimana mencari pendapatan maksimal dan jumlah barang yang bersesuaian dengan persamaan pendapatan \( P(q)=-20 q^{2}+3000 q \). Pertama-tama, mari kita pahami persamaan pendapatan ini. Persamaan tersebut menggambarkan hubungan antara jumlah barang yang dijual (q) dan pendapatan yang dihasilkan (P). Dalam persamaan ini, kita memiliki koefisien -20 yang menunjukkan bahwa pendapatan akan menurun seiring dengan peningkatan jumlah barang yang dijual. Koefisien 3000 menunjukkan jumlah pendapatan yang dihasilkan ketika tidak ada barang yang dijual. Untuk mencari pendapatan maksimal, kita perlu mencari nilai maksimum dari persamaan pendapatan ini. Dalam matematika, kita dapat mencari nilai maksimum dengan menggunakan teknik diferensiasi. Dalam hal ini, kita akan mencari turunan pertama dari persamaan pendapatan dan mengatur turunan tersebut sama dengan nol untuk mencari titik kritis. \( P'(q)=-40 q+3000 \) Ketika kita mengatur turunan pertama ini sama dengan nol, kita dapat mencari nilai q yang menghasilkan pendapatan maksimal. Dalam hal ini, kita akan mencari nilai q ketika \( P'(q)=0 \). \( -40 q+3000=0 \) \( -40 q=-3000 \) \( q=\frac{3000}{40} \) \( q=75 \) Jadi, jumlah barang yang harus dijual untuk mencapai pendapatan maksimal adalah 75. Selanjutnya, kita perlu mencari pendapatan maksimal yang dihasilkan ketika jumlah barang yang dijual adalah 75. Untuk mencari pendapatan maksimal, kita dapat menggantikan nilai q yang kita temukan ke dalam persamaan pendapatan. \( P(75)=-20 (75)^{2}+3000 (75) \) \( P(75)=-20 (5625)+225000 \) \( P(75)=-112500+225000 \) \( P(75)=112500 \) Jadi, pendapatan maksimal yang dapat dihasilkan adalah 112500. Dalam kesimpulan, untuk mencapai pendapatan maksimal sebesar 112500, jumlah barang yang harus dijual adalah 75. Dengan mengetahui nilai ini, seorang pengusaha dapat mengoptimalkan keuntungan mereka dengan menjual jumlah barang yang sesuai.