Menentukan Panjang Busur AB dengan Sudut AOB yang Diketahui

Dalam matematika, panjang busur adalah panjang dari bagian kurva yang terletak antara dua titik pada kurva tersebut. Untuk menentukan panjang busur AB, kita perlu mengetahui sudut AOB dan panjang OB. Dalam kasus ini, sudut AOB diberikan sebesar 100 derajat dan panjang OB adalah 10 cm. Untuk menentukan panjang busur AB, kita dapat menggunakan rumus panjang busur pada lingkaran. Rumus tersebut adalah: \[ \text{Panjang Busur} = \frac{\text{Sudut dalam derajat}}{360} \times 2 \pi r \] Dalam rumus ini, r adalah jari-jari lingkaran. Namun, dalam kasus ini, kita tidak diberikan jari-jari lingkaran. Oleh karena itu, kita perlu mencari jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Untuk mencari jari-jari lingkaran, kita dapat menggunakan rumus trigonometri pada segitiga OAB. Dalam segitiga ini, sudut AOB adalah sudut yang diketahui, panjang OB adalah sisi yang diketahui, dan jari-jari lingkaran adalah sisi yang ingin kita cari. Dengan menggunakan rumus sinus, kita dapat menulis persamaan berikut: \[ \frac{\text{Panjang sisi yang berlawanan dengan sudut}}{\text{Panjang sisi yang berlawanan dengan sudut yang diketahui}}} = \frac{\text{Panjang sisi yang berlawanan dengan sudut yang diketahui}}{\text{Jari-jari lingkaran}} \] Dalam kasus ini, panjang sisi yang berlawanan dengan sudut AOB adalah OB dan panjang sisi yang berlawanan dengan sudut yang diketahui adalah AB. Oleh karena itu, persamaan menjadi: \[ \frac{AB}{OB} = \frac{OB}{\text{Jari-jari lingkaran}} \] Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi: \[ AB = \frac{OB^2}{\text{Jari-jari lingkaran}} \] Sekarang kita dapat mencari jari-jari lingkaran dengan menggunakan persamaan trigonometri pada segitiga OAB. Dalam segitiga ini, sudut AOB adalah sudut yang diketahui, panjang OB adalah sisi yang diketahui, dan jari-jari lingkaran adalah sisi yang ingin kita cari. Dengan menggunakan rumus sinus, kita dapat menulis persamaan berikut: \[ \sin(\text{Sudut}) = \frac{\text{Panjang sisi yang berlawanan dengan sudut}}{\text{Panjang sisi yang berlawanan dengan sudut yang diketahui}}} \] Dalam kasus ini, panjang sisi yang berlawanan dengan sudut AOB adalah AB dan panjang sisi yang berlawanan dengan sudut yang diketahui adalah OB. Oleh karena itu, persamaan menjadi: \[ \sin(100^{\circ}) = \frac{AB}{OB} \] Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi: \[ AB = OB \times \sin(100^{\circ}) \] Sekarang kita dapat menggabungkan persamaan ini dengan persamaan sebelumnya untuk mencari panjang busur AB. Dengan menggantikan AB dengan nilai yang diperoleh dari persamaan terakhir, kita dapat menulis persamaan berikut: \[ \text{Panjang Busur AB} = \frac{\text{Sudut dalam derajat}}{360} \times 2 \pi r \] \[ \text{Panjang Busur AB} = \frac{100}{360} \times 2 \pi \left( \frac{OB^2}{OB \times \sin(100^{\circ})} \right) \] \[ \text{Panjang Busur AB} = \frac{5}{18} \pi \left( \frac{OB}{\sin(100^{\circ})} \right) \] Dengan menggantikan nilai OB dengan 10 cm, kita dapat menghitung panjang busur AB: \[ \text{Panjang Busur AB} = \frac{5}{18} \pi \left( \frac{10}{\sin(100^{\circ})} \