Mencari Penyelesaian dari Persamaan Trigonometri \(2\sin^2x + 3\cos x = 0\)

Persamaan trigonometri \(2\sin^2x + 3\cos x = 0\) adalah salah satu persamaan yang sering muncul dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan mencari himpunan penyelesaiannya untuk \(0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}\). Untuk memulai, mari kita tinjau terlebih dahulu sifat-sifat dasar dari fungsi trigonometri. Fungsi sinus dan kosinus adalah fungsi periodik dengan periode \(360^{\circ}\) atau \(2\pi\) radian. Ini berarti bahwa setiap nilai dari \(x\) yang berbeda dengan \(360^{\circ}\) atau \(2\pi\) radian akan memberikan nilai yang sama untuk fungsi sinus dan kosinus. Dalam persamaan \(2\sin^2x + 3\cos x = 0\), kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menggantikan \(\sin^2x\) dengan \(1 - \cos^2x\). Dengan demikian, persamaan dapat ditulis ulang menjadi \(2(1 - \cos^2x) + 3\cos x = 0\). Mari kita selesaikan persamaan ini dengan menggabungkan suku-suku yang serupa. Kita dapat mengalikan \(2\) ke dalam tanda kurung untuk mendapatkan \(2 - 2\cos^2x + 3\cos x = 0\). Kemudian, kita dapat mengurutkan suku-suku berdasarkan pangkat \(\cos x\) untuk mendapatkan \(-2\cos^2x + 3\cos x + 2 = 0\). Persamaan ini adalah persamaan kuadrat dalam \(\cos x\). Untuk menyelesaikannya, kita dapat menggunakan metode faktorisasi atau menggunakan rumus kuadrat. Namun, dalam kasus ini, faktorisasi tidak mungkin dilakukan dengan mudah. Oleh karena itu, kita akan menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan ini. Rumus kuadrat adalah \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah koefisien dari persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\). Dalam persamaan kita, \(a = -2\), \(b = 3\), dan \(c = 2\). Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat. \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-2)(2)}}{2(-2)}\) Simplifikasi persamaan ini akan memberikan kita dua solusi untuk \(x\). Mari kita selesaikan persamaan ini. \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{-4}\) \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{-4}\) \(x = \frac{-3 \pm 5}{-4}\) Dengan melakukan perhitungan lebih lanjut, kita akan mendapatkan dua solusi untuk \(x\), yaitu \(x = -2\) dan \(x = \frac{1}{2}\). Namun, kita harus memperhatikan batasan \(0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}\). Dalam hal ini, solusi \(x = -2\) tidak memenuhi batasan ini, karena \(x\) harus berada dalam rentang \(0^{\circ}\) hingga \(360^{\circ}\). Oleh karena itu, solusi yang valid untuk persamaan ini adalah \(x = \frac{1}{2}\). Dalam kesimpulan, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri \(2\sin^2x + 3\cos x = 0\) untuk \(0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}\) adalah \(x = \frac{1}{2}\).