Menghitung Nilai Limit dengan Aturan L'Hôpital

Dalam matematika, terdapat berbagai metode yang dapat digunakan untuk menghitung nilai limit suatu fungsi. Salah satu metode yang sering digunakan adalah aturan L'Hôpital. Aturan ini berguna ketika kita menghadapi limit yang sulit dihitung secara langsung. Misalnya, kita ingin menghitung nilai limit \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\sin (\sqrt{x+1}-2)}{x-3}\). Untuk mengaplikasikan aturan L'Hôpital, kita perlu mengubah bentuk limit menjadi bentuk yang dapat diaplikasikan aturan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan substitusi \(t = \sqrt{x+1} - 2\). Dengan substitusi ini, kita dapat menulis ulang limit sebagai \(\lim_{t \rightarrow 1} \frac{\sin t}{((t+2)^2 - 1) - 3}\). Selanjutnya, kita dapat menerapkan aturan L'Hôpital dengan menurunkan baik pembilang dan penyebut limit terhadap \(t\). Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan limit baru \(\lim_{t \rightarrow 1} \frac{\cos t}{2(t+2)}\). Ketika \(t\) mendekati 1, maka \(\cos t\) mendekati \(\cos 1\) dan \(2(t+2)\) mendekati \(2(1+2) = 6\). Jadi, nilai limit tersebut adalah \(\frac{\cos 1}{6}\). Dengan demikian, kita telah berhasil menghitung nilai limit \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\sin (\sqrt{x+1}-2)}{x-3}\) menggunakan aturan L'Hôpital. Metode ini sangat berguna dalam menyelesaikan limit yang sulit dihitung secara langsung.