Invers dari Komposisi Fungsi \( (g \circ f)(x) \)

Dalam matematika, terdapat konsep invers dari suatu fungsi. Invers dari suatu fungsi \( f(x) \) adalah fungsi \( f^{-1}(x) \) yang ketika diterapkan pada output dari \( f(x) \), menghasilkan input semula. Dalam artikel ini, kita akan mencari invers dari komposisi fungsi \( (g \circ f)(x) \), dengan \( f(x) = 4x+2 \) dan \( g(x) = \frac{x-3}{x+1} \), dengan catatan bahwa \( x \) tidak boleh sama dengan -1. Untuk mencari invers dari \( (g \circ f)(x) \), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut: 1. Tentukan \( (g \circ f)(x) \) dengan mengganti \( f(x) \) ke dalam \( g(x) \): \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \) 2. Gantikan \( f(x) \) dengan \( 4x+2 \) dalam \( g(x) \): \( (g \circ f)(x) = g(4x+2) \) 3. Hitung \( g(4x+2) \) dengan menggantikan \( x \) dengan \( 4x+2 \) dalam \( g(x) \): \( g(4x+2) = \frac{(4x+2)-3}{(4x+2)+1} \) 4. Sederhanakan ekspresi tersebut: \( g(4x+2) = \frac{4x-1}{4x+3} \) Sekarang, kita perlu mencari invers dari \( (g \circ f)(x) \), yaitu \( (g \circ f)^{-1}(x) \). Invers dari suatu fungsi dapat ditemukan dengan menukar \( x \) dengan \( y \) dalam fungsi tersebut dan memecahkan persamaan untuk \( y \). Mari kita lakukan hal yang sama dalam kasus ini: 1. Gantikan \( (g \circ f)(x) \) dengan \( y \): \( y = (g \circ f)(x) \) 2. Tukar \( x \) dengan \( y \) dalam ekspresi \( (g \circ f)(x) \): \( x = (g \circ f)^{-1}(y) \) 3. Gantikan \( y \) dengan \( x \) dalam ekspresi \( g(4x+2) \): \( x = \frac{4x-1}{4x+3} \) 4. Pecahkan persamaan untuk \( x \): \( 4x(4x+3) = 4x-1 \) \( 16x^2 + 12x = 4x-1 \) \( 16x^2 + 8x + 1 = 0 \) Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari solusi dari persamaan kuadrat ini. Setelah menghitung, kita akan mendapatkan dua solusi untuk \( x \). Setelah menemukan solusi untuk \( x \), kita dapat menggantikan \( x \) dalam \( (g \circ f)^{-1}(y) \) untuk mendapatkan invers dari \( (g \circ f)(x) \). Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan jawaban yang benar.