Memahami dan Menyelesaikan Integral $\int 4x^{3}(x^{4}-1)^{2}dx$

Dalam matematika, integral adalah salah satu konsep yang penting dan sering digunakan dalam berbagai bidang. Integral dapat digunakan untuk menemukan luas di bawah kurva, menghitung jumlah total, dan menyelesaikan persamaan diferensial. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana memahami dan menyelesaikan integral tertentu, yaitu $\int 4x^{3}(x^{4}-1)^{2}dx$. Pertama-tama, mari kita lihat bentuk integral ini. Dalam notasi integral, $\int$ menunjukkan bahwa kita sedang mencari integral, $4x^{3}$ adalah fungsi yang akan diintegralkan, dan $(x^{4}-1)^{2}$ adalah fungsi yang menjadi faktor. Tujuan kita adalah untuk menemukan fungsi yang, ketika diintegralkan, akan memberikan hasil yang sesuai dengan persamaan ini. Untuk menyelesaikan integral ini, kita dapat menggunakan berbagai metode, seperti aturan rantai, substitusi, atau pecahan parsial. Namun, dalam kasus ini, kita dapat menggunakan aturan rantai untuk mempermudah perhitungan. Dalam aturan rantai, kita mengalikan fungsi dalam integral dengan turunan dari fungsi tersebut. Dalam hal ini, kita dapat mengalikan $4x^{3}$ dengan turunan dari $(x^{4}-1)^{2}$, yaitu $2(x^{4}-1)(4x^{3})$. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan integral baru, yaitu $\int 8x^{3}(x^{4}-1)(x^{4}-1)dx$. Selanjutnya, kita dapat menggunakan substitusi untuk mempermudah perhitungan. Misalkan kita mengganti $u$ dengan $x^{4}-1$. Dengan melakukan substitusi ini, kita dapat mengubah integral menjadi $\int 8x^{3}u^{2}dx$. Selanjutnya, kita dapat menghitung turunan dari $u$ terhadap $x$, yaitu $\frac{du}{dx}=4x^{3}$. Dengan menggantikan $dx$ dengan $\frac{du}{4x^{3}}$, kita dapat mengubah integral menjadi $\int 8u^{2}\frac{du}{4x^{3}}$. Dalam langkah terakhir, kita dapat menyederhanakan integral ini dengan membagi kedua suku dengan 4 dan menggabungkan konstanta. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan integral akhir, yaitu $\int 2u^{2}\frac{du}{x^{3}}$. Sekarang, kita dapat menyelesaikan integral ini dengan menggunakan aturan integral dasar. Aturan integral dasar menyatakan bahwa integral dari $x^{n}$ adalah $\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c$, di mana $c$ adalah konstanta. Dalam kasus ini, kita memiliki integral $\int 2u^{2}\frac{du}{x^{3}}$, yang dapat kita tulis ulang sebagai $\int 2u^{2}x^{-3}du$. Dengan menggunakan aturan integral dasar, kita dapat menyelesaikan integral ini dengan mengganti $u$ dengan $x^{-3}$ dan $du$ dengan $-3x^{-4}dx$. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan integral akhir, yaitu $\int 2(x^{-3})^{2}(-3x^{-4})dx$. Dalam langkah terakhir, kita dapat menyederhanakan integral ini dengan mengalikan suku-suku yang sesuai dan menggabungkan konstanta. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan hasil akhir, yaitu $\int -6x^{-7}dx$. Dengan menggunakan aturan integral dasar, kita dapat menyelesaikan integral ini dengan mengganti $x^{-7}$ dengan $x^{-6}/-6$ dan menambahkan konstanta $c$. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan hasil akhir, yaitu $\frac{1}{6}x^{-6}+c$. Jadi, hasil dari integral $\int 4x^{3}(x^{4}-1)^{2}dx$ adalah $\frac{1}{6}x^{-6}+c$.