Mencari Luas Maksimum Kandang Ayam dengan Kawat Ram

Seutas kawat ram dengan panjang 20 meter akan digunakan untuk membuat kandang ayam. Tugas kita adalah menentukan panjang dan lebar kandang ayam agar luasnya maksimum. Untuk mencapai tujuan ini, kita perlu memahami konsep dasar optimisasi. Optimisasi adalah proses mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi dengan memanfaatkan batasan-batasan yang ada. Dalam kasus ini, luas kandang ayam adalah fungsi yang ingin kita maksimalkan. Mari kita anggap panjang kandang ayam adalah \( x \) meter dan lebarnya adalah \( y \) meter. Dengan asumsi bahwa sisi-sisi kandang yang berhadapan sejajar dengan kawat ram, kita dapat merumuskan fungsi luas sebagai berikut: \[ \text{Luas} = xy \] Namun, terdapat batasan yang perlu kita perhatikan. Pertama, panjang kandang tidak boleh melebihi panjang kawat yaitu 20 meter, sehingga kita memiliki batasan: \[ x \leq 20 \] Kedua, lebar kandang tidak boleh melebihi lebar kawat yaitu 20 meter, sehingga batasan kedua adalah: \[ y \leq 20 \] Dengan mempertimbangkan batasan-batasan tersebut, kita dapat merumuskan masalah optimisasi sebagai berikut: \[ \text{Maksimalkan } \text{Luas} = xy \] \[ \text{dengan batasan } x \leq 20 \text{ dan } y \leq 20 \] Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan metode kalkulus. Pertama, kita perlu mengekspresikan fungsi yang ingin kita maksimalkan dalam satu variabel. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan batasan pertama untuk mengekspresikan \( y \) dalam fungsi \( x \). Dengan mengganti \( y \) dalam fungsi luas, kita dapat merumuskan fungsi luas sebagai fungsi tunggal \( x \): \[ \text{Luas} = x(20-x) \] Selanjutnya, kita dapat mencari nilai maksimum dari fungsi ini dengan mengambil turunan pertama dan menyelesaikan persamaan turunan tersebut sama dengan nol: \[ \frac{d}{dx} \text{Luas} = 20 - 2x = 0 \] \[ 2x = 20 \] \[ x = 10 \] Dengan menempatkan nilai \( x = 10 \) ke dalam fungsi luas, kita dapat menghitung nilai luas maksimum: \[ \text{Luas} = 10(20-10) = 100 \] Jadi, untuk mencapai luas maksimum, panjang kandang ayam harus 10 meter dan lebarnya juga harus 10 meter. Dengan demikian, kita telah berhasil menemukan panjang dan lebar kandang ayam agar luasnya maksimum.