Analisis Himpunan dan Buktian Matematik

1. Pernyataan yang Salah: Diberikan himpunan A = {2, {4, 5}, 4}. Mari kita analisis setiap pernyataan: a. {4, 5}⊂A: Pernyataan ini benar. Subhimpunan {4, 5} memang merupakan bagian dari himpunan A. b. {4, 5}∈A: Pernyataan ini salah. {4, 5} bukan merupakan elemen dari himpunan A. Elemen dari A adalah 2, {4, 5}, dan 4. {4, 5} adalah subhimpunan, bukan elemen. c. {{4, 5}}⊂A: Pernyataan ini benar. Himpunan {{4, 5}} memang merupakan bagian dari himpunan A. Jadi, pernyataan yang salah adalah b. {4, 5}∈A. 2. Buktikan bahwa A∪(B−A)=A∪B: Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Kita perlu membuktikan bahwa A∪(B−A) sama dengan A∪B. Mari kita buktikan dengan langkah-langkah berikut: - Pertama, mari kita buktikan bahwa A∪(B−A)⊆A∪B. - Kemudian, mari kita buktikan bahwa A∪B⊆A∪(B−A). Langkah 1: A∪(B−A)⊆A∪B - Misalkan x merupakan elemen dari A∪(B−A). Maka x harus berada dalam A atau dalam B−A. - Jika x berada dalam B−A, maka x berada dalam B tetapi tidak dalam A. - Dalam hal ini, x akan berada dalam B, yang berarti x juga berada dalam A∪B. Dengan demikian, A∪(B−A)⊆A∪B terbukti. Langkah 2: A∪B⊆A∪(B−A) - Misalkan x merupakan elemen dari A∪B. Maka x harus berada dalam A atau dalam B. - Jika x berada dalam B, maka x juga berada dalam B−A (karena B−A adalah bagian dari B). - Dalam hal ini, x akan berada dalam A∪(B−A). Dengan demikian, A∪B⊆A∪(B−A) terbukti. Karena kedua langkah tersebut terbukti, maka A∪(B−A) sama dengan A∪B. Buktian ini menunjukkan bahwa gabungan dari himpunan A dengan selisih himpunan B dan A sama dengan gabungan himpunan A dan B.