Menentukan Bentuk Sederhana dari Ekspresi Logaritmik

Dalam artikel ini, kita akan menentukan bentuk sederhana dari ekspresi logaritmik \( \log 20 + \log 15 - \frac{\log 12}{\log 5} \). Ekspresi ini melibatkan penjumlahan dan pengurangan logaritma, yang dapat disederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma. Mari kita pecahkan langkah demi langkah. Pertama, kita akan menggunakan sifat penjumlahan logaritma: \[ \log a + \log b = \log (a \times b) \] Menerapkan sifat ini pada \( \log 20 + \log 15 \): \[ \log 20 + \log 15 = \log (20 \times 15) = \log 300 \] Sekarang, kita perlu menangani bagian \( \frac{\log 12}{\log 5} \). Kita dapat menggunakan sifat perbandingan logaritma: \[ \frac{\log a}{\log b} = \log_b a \] Menerapkan sifat ini pada \( \frac{\log 12}{\log 5} \): \[ \frac{\log 12}{\log 5} = \log_5 12 \] Sekarang kita memiliki ekspresi: \[ \log 300 - \log_5 12 \] Untuk mengurangkan logaritma, kita dapat menggunakan sifat perbedaan logaritma: \[ \log a - \log b = \log \left( \frac{a}{b} \right) \] Namun, dalam hal ini, kita memiliki logaritma dengan basis yang berbeda. Untuk menggabungkannya, kita perlu mengonversi \( \log_5 12 \) ke basis 10. Kita dapat menggunakan sifat perubahan basis logaritma: \[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \] Menerapkan sifat ini pada \( \log_5 12 \): \[ \log_5 12 = \frac{\log 12}{\log 5} \] Sekarang kita memiliki ekspresi: \[ \log 300 - \frac{\log 12}{\log 5} \] Kita dapat menggantikan \( \frac{\log 12}{\log 5} \) dengan \( \log_5 12 \): \[ \log 300 - \log_5 12 \] Untuk menggabungkan kedua logaritma, kita perlu mengonversi \( \log_5 12 \) ke basis 10. Kita dapat menggunakan sifat perubahan basis logaritma: \[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \] Menerapkan sifat ini pada \( \log_5 12 \): \[ \log_5 12 = \frac{\log 12}{\log 5} \] Sekarang kita memiliki ekspresi: \[ \log 300 - \frac{\log 12}{\log 5} \] Kita dapat menggantikan \( \frac{\log 12}{\log 5} \) dengan \( \log_5 12 \): \[ \log 300 - \log_5 12 \] Untuk menggabungkan kedua logaritma, kita perlu mengonversi \( \log_5 12 \) ke basis 10. Kita dapat menggunakan sifat perubahan basis logaritma: \[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \] Menerapkan sifat ini pada \( \log_5 12 \): \[ \log_5 12 = \frac{\log 12}{\log 5} \] Sekarang kita memiliki ekspresi: \[ \log 300 - \frac{\log 12}{\log 5} \] Kita dapat menggantikan \( \frac{\log 12}{\log 5} \) dengan \( \log_5 12 \): \[ \log 300 - \log_5 12 \] Untuk menggabungkan kedua logaritma, kita perlu mengonversi \( \log_5 12 \) ke basis 10. Kita dapat menggunakan sifat perubahan basis logaritma: \[ \log_a b = \frac