Menyelesaikan Persamaan Matriks dan Mencari Nilai \( a+b+c \)

Dalam matematika, persamaan matriks adalah persamaan yang melibatkan operasi perkalian matriks. Dalam kasus ini, kita diberikan persamaan matriks berikut: \[ \left(\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 1 & 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}a & a \\ a+b & c+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & -5 \\ 0 & -2\end{array}\right) \] Tugas kita adalah untuk menentukan nilai dari \( a+b+c \) berdasarkan persamaan matriks ini. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu mengalikan matriks di sebelah kiri dengan matriks di sebelah kanan. Dalam perkalian matriks, elemen-elemen matriks hasil diperoleh dengan menjumlahkan perkalian elemen-elemen yang sesuai dari matriks yang dikalikan. Dalam kasus ini, kita dapat mengalikan matriks sebagai berikut: \[ \left(\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 1 & 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}a & a \\ a+b & c+2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}3a+5(a+b) & 3a+5(c+2) \\ a+2(a+b) & a+2(c+2)\end{array}\right) \] Dengan membandingkan matriks hasil perkalian dengan matriks di sebelah kanan persamaan, kita dapat menentukan nilai-nilai dari \( a \), \( b \), dan \( c \). Dalam kasus ini, kita dapat menentukan nilai-nilai tersebut sebagai berikut: \[ 3a+5(a+b) = 1 \Rightarrow 8a+5b = 1 \] \[ 3a+5(c+2) = -5 \Rightarrow 3a+5c+10 = -5 \Rightarrow 3a+5c = -15 \] \[ a+2(a+b) = 0 \Rightarrow 3a+2b = 0 \] \[ a+2(c+2) = -2 \Rightarrow a+2c+4 = -2 \Rightarrow a+2c = -6 \] Dengan memecahkan sistem persamaan linear ini, kita dapat menentukan nilai-nilai dari \( a \), \( b \), dan \( c \). Setelah memecahkan sistem persamaan ini, kita dapat menemukan bahwa \( a = -2 \), \( b = 4 \), dan \( c = -4 \). Sekarang, kita dapat menghitung nilai dari \( a+b+c \) dengan menggantikan nilai-nilai yang telah kita temukan: \[ a+b+c = -2+4+(-4) = -2 \] Jadi, nilai dari \( a+b+c \) adalah -2. Dalam artikel ini, kita telah berhasil menyelesaikan persamaan matriks dan menentukan nilai dari \( a+b+c \) berdasarkan persamaan tersebut.