Fungsi Densitas Rata-rata, Varians, dan Fungsi Pembangkit Momen dari Peubah Acak X yang Berdistribusi Seragam pada Interval $(\alpha,\beta )$

Dalam statistika, distribusi seragam atau distribusi uniform adalah salah satu distribusi probabilitas yang paling sederhana. Distribusi ini digunakan untuk menggambarkan variabel acak X yang memiliki probabilitas yang sama untuk mengambil nilai dalam suatu interval tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membahas fungsi densitas rata-rata, varians, dan fungsi pembangkit momen dari peubah acak X yang berdistribusi seragam pada interval $(\alpha,\beta )$. Fungsi densitas rata-rata, yang juga dikenal sebagai fungsi probabilitas densitas (pdf), menggambarkan distribusi probabilitas dari variabel acak X. Untuk distribusi seragam, fungsi densitas rata-rata didefinisikan sebagai: $f(x)=\frac {1}{\beta -\alpha };\quad \alpha \lt x\lt \beta $ Ini berarti bahwa probabilitas mengambil nilai X dalam interval $(\alpha,\beta )$ adalah sama, dan probabilitas mengambil nilai di luar interval ini adalah nol. Fungsi densitas rata-rata ini adalah konstan dalam interval $(\alpha,\beta )$ dan nol di luar interval ini. Rata-rata atau ekspektasi dari variabel acak X, yang dinyatakan sebagai $\mu$, adalah nilai yang diharapkan dari X. Untuk distribusi seragam, rata-rata dihitung sebagai: $\mu =E(X)=(\frac {1}{2})(\alpha +\beta )$ Ini berarti bahwa rata-rata dari X adalah titik tengah dari interval $(\alpha,\beta )$. Rata-rata ini memberikan gambaran tentang nilai tengah dari distribusi probabilitas. Variansi dari variabel acak X, yang dinyatakan sebagai $\sigma _{2}$, mengukur seberapa tersebar distribusi probabilitas. Untuk distribusi seragam, varians dihitung sebagai: $\sigma _{2}=Var(X)=(\frac {1}{12})(\beta -\alpha )^{2}$ Ini berarti bahwa varians dari X adalah setengah dari selisih kuadrat antara batas atas dan batas bawah interval $(\alpha,\beta )$. Varians ini memberikan gambaran tentang seberapa tersebar distribusi probabilitas. Fungsi pembangkit momen dari variabel acak X, yang dinyatakan sebagai $M_{x}(t)$, adalah fungsi yang menggambarkan ekspektasi dari $e^{tx}$, di mana $t$ adalah variabel yang diperlukan. Untuk distribusi seragam, fungsi pembangkit momen dihitung sebagai: $M_{x}(t)=\frac {e^{\beta t}-e^{\alpha t}}{t(\beta -\alpha )};\quad t

eq 0$ Fungsi ini memberikan informasi tentang distribusi probabilitas dari X dalam domain frekuensi. Ketika $t=0$, fungsi pembangkit momen mendekati 1, yang menunjukkan bahwa distribusi probabilitas dari X adalah seragam dalam interval $(\alpha,\beta )$. Dalam kesimpulan, fungsi densitas rata-rata, varians, dan fungsi pembangkit momen dari peubah acak X yang berdistribusi seragam pada interval $(\alpha,\beta )$ memberikan gambaran tentang distribusi probabilitas, rata-rata, varians, dan karakteristik lain dari X. Pengetahuan ini penting dalam statistika dan dapat diterapkan dalam berbagai bidang, seperti pengujian hipotesis, analisis regresi, dan analisis varians.