Analisis Grafik dan Titik Kritis dari Fungsi \(y = \frac{2x}{x^2+1}\)

Dalam artikel ini, kita akan menganalisis grafik fungsi \(y = \frac{2x}{x^2+1}\) dan menentukan titik maksimum, minimum, serta titik beloknya. Fungsi ini memiliki bentuk yang menarik dan memiliki beberapa titik kritis yang menarik untuk diteliti. Pertama, mari kita lihat grafik fungsi ini. Grafik fungsi \(y = \frac{2x}{x^2+1}\) adalah grafik fungsi rasional dengan polinomial di pembilang dan penyebutnya. Fungsi ini memiliki asimtot vertikal di \(x = -1\) dan tidak memiliki asimtot horizontal. Untuk menentukan titik maksimum dan minimum dari fungsi ini, kita perlu mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi ini. Dengan menghitung turunan pertama dan kedua, kita dapat menemukan titik-titik kritis di mana turunan pertama sama dengan nol dan turunan kedua menentukan apakah titik tersebut adalah maksimum atau minimum. Setelah menghitung turunan pertama dan kedua, kita menemukan bahwa turunan pertama adalah \(y' = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\) dan turunan kedua adalah \(y'' = \frac{8x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\). Dengan mencari titik-titik di mana turunan pertama sama dengan nol, kita menemukan bahwa titik-titik kritisnya adalah \(x = -1\) dan \(x = 1\). Untuk menentukan apakah titik-titik ini adalah maksimum atau minimum, kita perlu melihat tanda turunan kedua di sekitar titik-titik ini. Setelah menghitung tanda turunan kedua di sekitar titik-titik kritis, kita menemukan bahwa \(y''(-1) = -8\) dan \(y''(1) = 8\). Ini berarti bahwa titik \(x = -1\) adalah titik minimum lokal dan titik \(x = 1\) adalah titik maksimum lokal. Selanjutnya, mari kita cari titik belok dari fungsi ini. Titik belok adalah titik di mana turunan kedua berubah tanda. Dalam kasus fungsi \(y = \frac{2x}{x^2+1}\), kita dapat melihat bahwa turunan kedua berubah tanda di \(x = \sqrt{3}\) dan \(x = -\sqrt{3}\). Oleh karena itu, titik-titik ini adalah titik belok dari fungsi ini. Dalam kesimpulan, grafik fungsi \(y = \frac{2x}{x^2+1}\) memiliki titik maksimum di \(x = 1\), titik minimum di \(x = -1\), dan titik belok di \(x = \sqrt{3}\) dan \(x = -\sqrt{3}\). Analisis ini memberikan wawasan yang berguna tentang sifat-sifat grafik fungsi ini dan dapat digunakan dalam berbagai aplikasi matematika dan ilmu pengetahuan lainnya.