Membuktikan bahwa sec² x + tan⁴ x = sec⁴ x - tan²

Dalam matematika, terdapat banyak persamaan dan identitas trigonometri yang perlu dibuktikan. Salah satu persamaan yang menarik untuk dibuktikan adalah sec² x + tan⁴ x = sec⁴ x - tan² x. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana membuktikan persamaan ini dengan menggunakan identitas trigonometri yang relevan. Sebelum kita membuktikan persamaan ini, mari kita tinjau terlebih dahulu definisi dari secant dan tangent. Secant (sec) dari suatu sudut adalah kebalikan dari kosinus (cos) dari sudut tersebut, sedangkan tangent (tan) dari suatu sudut adalah kebalikan dari sinus (sin) dari sudut tersebut. Dengan menggunakan definisi ini, kita dapat menggambarkan sec dan tan dalam bentuk persamaan trigonometri yang lebih umum. Sekarang, mari kita mulai membuktikan persamaan sec² x + tan⁴ x = sec⁴ x - tan² x. Pertama, kita akan menggunakan identitas trigonometri dasar yang menghubungkan sec dan tan dengan sin dan cos. Identitas ini adalah: sec² x = 1 + tan² x tan² x = sec² x - 1 Dengan menggunakan identitas ini, kita dapat menggantikan sec² x dan tan² x dalam persamaan awal: sec² x + tan⁴ x = sec⁴ x - tan² x (1 + tan² x) + tan⁴ x = sec⁴ x - (sec² x - 1) Kemudian, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan menggabungkan suku-suku yang serupa: 1 + tan² x + tan⁴ x = sec⁴ x - sec² x + 1 Selanjutnya, kita dapat menggunakan identitas trigonometri lainnya yang menghubungkan sec dan tan dengan sin dan cos. Identitas ini adalah: sec² x = 1 + tan² x sec⁴ x = (1 + tan² x)² Dengan menggunakan identitas ini, kita dapat menggantikan sec² x dan sec⁴ x dalam persamaan yang telah disederhanakan: 1 + tan² x + tan⁴ x = (1 + tan² x)² - (1 + tan² x) + 1 Kemudian, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan dan menggabungkan suku-suku yang serupa: 1 + tan² x + tan⁴ x = 1 + 2tan² x + tan⁴ x - 1 - tan² x + 1 Akhirnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan membatalkan suku-suku yang sama: 1 + tan² x + tan⁴ x = 1 + tan² x + 1 Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa sec² x + tan⁴ x = sec⁴ x - tan² x. Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana membuktikan persamaan trigonometri sec² x + tan⁴ x = sec⁴ x - tan² x. Dengan menggunakan identitas trigonometri yang relevan, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dan membatalkan suku-suku yang sama untuk membuktikan persamaan tersebut.