Memahami dan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapi Bentuk Kuadrat Sempurn

Persamaan kuadrat adalah salah satu topik yang penting dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapi bentuk kuadrat sempurna. Khususnya, kita akan fokus pada persamaan kuadrat $x^{2}-5x-24=0$ dan mencari nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini, kita perlu melengkapi bentuk kuadrat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna adalah bentuk persamaan kuadrat yang dapat ditulis sebagai $(x-a)^{2}=b$, di mana a dan b adalah bilangan riil. Dalam kasus ini, kita ingin melengkapi persamaan $x^{2}-5x-24=0$ menjadi bentuk kuadrat sempurna. Langkah pertama adalah mengelompokkan suku-suku yang memiliki x. Dalam persamaan ini, kita memiliki $x^{2}-5x$. Kita dapat melengkapi bentuk kuadrat sempurna dengan mengambil setengah dari koefisien x, yaitu $\frac{-5}{2}$, dan mengkuadratkannya, yaitu $\left(\frac{-5}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$. Kita kemudian menambahkan $\frac{25}{4}$ ke kedua sisi persamaan. $x^{2}-5x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}-24=0$ $x^{2}-5x+\frac{25}{4}-\frac{100}{4}=0$ $x^{2}-5x-\frac{75}{4}=0$ Selanjutnya, kita ingin menyederhanakan persamaan ini menjadi bentuk kuadrat sempurna. Kita dapat melakukan ini dengan mengubah persamaan menjadi $(x-a)^{2}=b$. Dalam hal ini, kita ingin mencari nilai a dan b. Dalam persamaan $x^{2}-5x-\frac{75}{4}=0$, kita ingin mencari nilai a yang memenuhi persamaan $(x-a)^{2}$. Kita dapat melihat bahwa koefisien x adalah -5, sehingga kita dapat menulis persamaan ini sebagai $(x-\frac{5}{2})^{2}=b$. Kita kemudian mencari nilai b dengan mengkuadratkan $\frac{75}{4}$. $(x-\frac{5}{2})^{2}=\frac{75}{4}$ $x-\frac{5}{2}=\pm\sqrt{\frac{75}{4}}$ $x-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{75}}{2}$ $x=\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{75}}{2}$ Dengan demikian, kita telah menyelesaikan persamaan kuadrat $x^{2}-5x-24=0$ dengan melengkapi bentuk kuadrat sempurna. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ini adalah $\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{75}}{2}$ dan $\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{75}}{2}$. Dalam artikel ini, kita telah mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapi bentuk kuadrat sempurna. Dengan memahami konsep ini, kita dapat dengan mudah menyelesaikan persamaan kuadrat lainnya.