Mencari Nilai \( \tan (\alpha+\beta) \) dengan Informasi Sudut Cosinus

Dalam matematika, kita sering dihadapkan pada masalah mencari nilai trigonometri dari sudut-sudut tertentu. Salah satu masalah yang sering muncul adalah mencari nilai \( \tan (\alpha+\beta) \) dengan informasi tentang sudut-sudut lancip \( \alpha \) dan \( \beta \), serta nilai cosinus dari kedua sudut tersebut. Dalam kasus ini, kita diberikan informasi bahwa \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \) dan \( \cos \beta = \frac{1}{17} \), dengan \( \alpha \) dan \( \beta \) merupakan sudut-sudut lancip. Tugas kita adalah mencari nilai \( \tan (\alpha+\beta) \) berdasarkan informasi ini. Untuk mencari nilai \( \tan (\alpha+\beta) \), kita dapat menggunakan rumus trigonometri yang menghubungkan fungsi tangen dengan fungsi cosinus. Rumus tersebut adalah: \[ \tan (\alpha+\beta) = \frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)} \] Namun, sebelum kita dapat menggunakan rumus ini, kita perlu mencari nilai sin (\( \alpha+\beta \)) dan cos (\( \alpha+\beta \)). Untuk mencari nilai sin (\( \alpha+\beta \)), kita dapat menggunakan rumus trigonometri yang menghubungkan sin dengan cos: \[ \sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \] Dengan menggunakan informasi yang diberikan, kita dapat menggantikan nilai cos (\( \alpha \)) dan cos (\( \beta \)) dengan nilai yang diketahui: \[ \sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cdot \frac{1}{17} + \frac{3}{5} \cdot \sin \beta \] Selanjutnya, kita perlu mencari nilai cos (\( \alpha+\beta \)). Untuk mencari nilai ini, kita dapat menggunakan rumus trigonometri yang menghubungkan cos dengan cos: \[ \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] Dengan menggunakan informasi yang diberikan, kita dapat menggantikan nilai cos (\( \alpha \)) dan cos (\( \beta \)) dengan nilai yang diketahui: \[ \cos (\alpha+\beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{17} - \sin \alpha \cdot \sin \beta \] Setelah kita mengetahui nilai sin (\( \alpha+\beta \)) dan cos (\( \alpha+\beta \)), kita dapat menggantikan nilai ini ke dalam rumus \( \tan (\alpha+\beta) = \frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)} \) untuk mencari nilai \( \tan (\alpha+\beta) \). Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan jawaban yang sesuai dengan pilihan yang diberikan.