Mencari Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar Tertentu

Dalam matematika, persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial dengan derajat dua. Persamaan kuadrat umumnya ditulis dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta. Salah satu aspek penting dalam mempelajari persamaan kuadrat adalah mencari akar-akarnya, yaitu nilai-nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam kasus ini, kita diberikan persamaan kuadrat dengan akar-akar $\frac{1}{2}$ dan -5. Mari kita cari persamaan kuadrat yang sesuai dengan akar-akar ini. Pertama, mari kita asumsikan persamaan kuadrat kita memiliki bentuk $x^2 + px + q = 0$, di mana $p$ dan $q$ adalah konstanta yang perlu kita cari. Jika kita memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, maka persamaan kuadrat kita dapat ditulis sebagai $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$. Jika kita mengalikan persamaan ini, kita akan mendapatkan $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$. Dalam kasus ini, akar-akar kita adalah $\frac{1}{2}$ dan -5. Jadi, kita dapat menulis persamaan kuadrat kita sebagai $(x - \frac{1}{2})(x + 5) = 0$. Jika kita mengalikan persamaan ini, kita akan mendapatkan $x^2 + (\frac{9}{2})x - \frac{5}{2} = 0$. Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $\frac{1}{2}$ dan -5 adalah $x^2 + (\frac{9}{2})x - \frac{5}{2} = 0$. Dalam kasus ini, kita telah berhasil menemukan persamaan kuadrat yang sesuai dengan akar-akar yang diberikan. Namun, penting untuk diingat bahwa ada banyak persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar yang sama. Oleh karena itu, kita perlu memeriksa apakah persamaan kuadrat yang kita temukan benar-benar memenuhi persyaratan. Untuk memverifikasi, kita dapat menggunakan rumus diskriminan. Diskriminan persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ didefinisikan sebagai $D = b^2 - 4ac$. Jika diskriminan positif, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang berbeda. Jika diskriminan nol, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar ganda. Jika diskriminan negatif, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real. Dalam kasus ini, persamaan kuadrat kita adalah $x^2 + (\frac{9}{2})x - \frac{5}{2} = 0$. Mari kita hitung diskriminannya. Diskriminan $D = (\frac{9}{2})^2 - 4(1)(-\frac{5}{2}) = \frac{81}{4} + 10 = \frac{121}{4}$. Karena diskriminan positif, persamaan kuadrat kita memiliki dua akar yang berbeda, yaitu $\frac{1}{2}$ dan -5. Dengan demikian, persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $\frac{1}{2}$ dan -5 adalah $x^2 + (\frac{9}{2})x - \frac{5}{2} = 0$. Dalam artikel ini, kita telah membahas cara mencari persamaan kuadrat dengan akar-akar tertentu. Dengan menggunakan rumus diskriminan, kita dapat memverifikasi apakah persamaan kuadrat yang kita temukan benar-benar memenuhi persyaratan.