Mengeksplorasi Batas: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sin3x-cos5x}{sin3x+sin5x}$

Batas adalah konsep matematika yang menarik dan kompleks, dan batas ini adalah salah satu yang paling menarik. $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sin3x-cos5x}{sin3x+sin5x}$ adalah batas yang menarik perhatian karena menggabungkan dua fungsi trigonometri yang berbeda: sinus dan kosinus. Dalam hal ini, kita ingin mengeksplorasi perilaku dari rasio dua fungsi trigonometri saat x mendekati 0. Untuk memahami batas ini, mari kita mulai dengan memeriksa perilaku dari setiap fungsi secara terpisah saat x mendekati 0. Ketika x mendekati 0, nilai sinus dan kosinus mendekati 0. Oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan bahwa: $\lim _{x\rightarrow 0}sin3x = 0$ $\lim _{x\rightarrow 0}cos5x = 0$ Sekarang, mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam batas asli: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sin3x-cos5x}{sin3x+sin5x} = \frac {0-0}{0+0} = \frac {0}{0}$ Kita telah mencapai titik di mana kita harus menggunakan aturan L'Hopital, yang menyatakan bahwa jika kita memiliki batas yang tidak terdefinisi, kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut secara terpisah dan mengulangi proses tersebut sampai kita mendapatkan hasil yang terdefinisi. Turunan dari $sin3x$ adalah $3cos3x$, dan turunan dari $cos5x$ adalah $-5sin5x$. Jadi, kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut secara terpisah: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sin3x-cos5x}{sin3x+sin5x} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac {3cos3x-(-5sin5x)}{3sin3x+5sin5x}$ Sekarang, kita dapat menggabungkan istilah-istilah yang serupa: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {3cos3x+5sin5x}{3sin3x+5sin5x}$ Ketika x mendekati 0, nilai sinus dan kosinus mendekati 0. Oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan bahwa: $\lim _{x\rightarrow 0}3cos3x = 0$ $\lim _{x\rightarrow 0}5sin5x = 0$ Sekarang, kita dapat menggabungkan nilai-nilai ini ke dalam batas terakhir: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {3cos3x+5sin5x}{3sin3x+5sin5x} = \frac {0+0}{0+0} = \frac {0}{0}$ Kita telah mencapai titik di mana kita harus menggunakan aturan L'Hopital lagi. Turunan dari $3cos3x$ adalah $-9sin3x$, dan turunan dari $5sin5x$ adalah $25cos5x$. Jadi, kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut secara terpisah: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {3cos3x+5sin5x}{3sin3x+5sin5x} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac {-9sin3x+25cos5x}{3cos3x-(-5sin5x)}$ Ketika x mendekati 0, nilai sinus dan kosinus mendekati 0. Oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan bahwa: $\lim _{x\rightarrow 0}-9sin3x = 0$ $\lim _{x\rightarrow 0}25cos5x = 0$ Sekarang, kita dapat menggabungkan nilai-nilai ini ke dalam batas terakhir: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {-9sin3x+25cos5x}{3cos3x-(-5sin5x)} = \frac {0+0}{0-0} = \frac {0}{0}$ Kita telah mencapai titik di mana kita harus menggunakan