Menyelesaikan Persamaan Kuadrat: $4x^{2}-2x+12=0$

Pendahuluan: Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial dari derajat dua, dan bentuk standar dari persamaan kuadrat adalah $ax^{2}+bx+c=0$. Dalam kasus ini, kita memiliki persamaan kuadrat $4x^{2}-2x+12=0$. Dalam artikel ini, kita akan mengeksplorasi cara menyelesaikan persamaan ini dan menemukan nilai x yang membuat persamaan benar.

Bagian 1: Menggunakan Metode Faktorisasi

Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan faktorisasi. Untuk melakukannya, kita mencari dua bilangan yang, ketika dikalikan, menghasilkan koefisien a (dalam hal ini, 4) dan, ketika dijumlahkan, menghasilkan koefisien b (dalam hal ini, -2). Dalam hal ini, dua bilangan tersebut adalah -1 dan -12. Oleh karena itu, kita dapat menulis persamaan sebagai:

$4x^{2}-1x-12x+12=0$

Kemudian, kita dapat mengelompokkan istilah-istilah tersebut dan memindahkannya ke sisi kiri persamaan:

$4x^{2}-13x+12=0$

Sekarang, kita dapat memfaktorkan istilah-istilah tersebut:

$(4x-1)(x-12)=0$

Dari sini, kita dapat menetapkan masing-masing faktor menjadi nol dan menyelesaikan untuk x:

$4x-1=0 \quad \text{atau} \quad x-12=0$

Mengatasi persamaan pertama memberikan kita:

$4x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{4}$

Mengatasi persamaan kedua memberikan kita:

$x=12$

Jadi, kita telah menemukan dua nilai x yang membuat persamaan $4x^{2}-2x+12=0$ benar: $x=\frac{1}{4}$ dan $x=12$.

Bagian 2: Menggunakan Metode Penyelesaian Kuadrat

Cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan menggunakan rumus penyelesaian kuadrat, yang ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Rumus tersebut adalah:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Dalam kasus persamaan $4x^{2}-2x+12=0$, kita memiliki a=4, b=-2, dan c=12. Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus memberikan kita:

$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4(4)(12)}}{2(4)}$

Sederhanakan persamaan tersebut menjadi:

$x=\frac{2\pm\sqrt{4-192}}{8}$

$x=\frac{2\pm\sqrt{-188}}{8}$

Karena nilai di bawah akar kuadrat adalah bilangan negatif, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan tidak memiliki solusi real. Oleh karena itu, tidak ada nilai x yang membuat persamaan $4x^{2}-2x+12=0$ benar.

Kesimpulan: Dalam artikel ini, kita telah mengeksplorasi dua metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat: metode faktorisasi dan metode penyelesaian kuadrat. Dengan menggunakan metode faktorisasi, kita menemukan dua nilai x yang membuat persamaan $4x^{2}-2x+12=0$ benar: $x=\frac{1}{4}$ dan $x=12$. Di sisi lain, dengan menggunakan metode penyelesaian kuadrat, kita menemukan bahwa persamaan tidak memiliki solusi real.