Menganalisis Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-2 x-15}{x^{2}+8 x+15} \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep penting yang digunakan untuk memahami perilaku suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-2 x-15}{x^{2}+8 x+15} \) dan melihat bagaimana kita dapat menentukan nilai batasnya. Pertama-tama, mari kita evaluasi fungsi ini saat \( x \) mendekati -3 dari sebelah kiri. Dalam hal ini, kita akan menggantikan \( x \) dengan nilai yang semakin mendekati -3, misalnya -3.1, -3.01, -3.001, dan seterusnya. Dengan melakukan ini, kita dapat melihat bagaimana fungsi berperilaku saat mendekati -3 dari sebelah kiri. \( \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-2 x-15}{x^{2}+8 x+15} = \frac{(-3)^{2}-2(-3)-15}{(-3)^{2}+8(-3)+15} \) \( = \frac{9+6-15}{9-24+15} \) \( = \frac{0}{0} \) Dalam kasus ini, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0. Untuk menentukan nilai batasnya, kita perlu menggunakan teknik aljabar atau limitasi lainnya. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan faktorisasi atau pembagian polinomial untuk menyederhanakan fungsi. \( \frac{x^{2}-2 x-15}{x^{2}+8 x+15} = \frac{(x-3)(x+5)}{(x+3)(x+5)} \) \( = \frac{x-3}{x+3} \) Sekarang, kita dapat mencoba menggantikan \( x \) dengan -3 dalam fungsi yang disederhanakan ini. \( \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x-3}{x+3} = \frac{(-3)-3}{(-3)+3} \) \( = \frac{-6}{0} \) Dalam kasus ini, kita mendapatkan bentuk tak terhingga -6/0. Ini menunjukkan bahwa fungsi tidak memiliki batas saat \( x \) mendekati -3 dari sebelah kiri. Selanjutnya, mari kita evaluasi fungsi saat \( x \) mendekati -3 dari sebelah kanan. Dalam hal ini, kita akan menggantikan \( x \) dengan nilai yang semakin mendekati -3 dari sebelah kanan, misalnya -2.9, -2.99, -2.999, dan seterusnya. Dengan melakukan ini, kita dapat melihat bagaimana fungsi berperilaku saat mendekati -3 dari sebelah kanan. \( \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-2 x-15}{x^{2}+8 x+15} = \frac{(-3)^{2}-2(-3)-15}{(-3)^{2}+8(-3)+15} \) \( = \frac{9+6-15}{9-24+15} \) \( = \frac{0}{0} \) Sekarang, kita dapat mencoba menyederhanakan fungsi seperti sebelumnya. \( \frac{x^{2}-2 x-15}{x^{2}+8 x+15} = \frac{(x-3)(x+5)}{(x+3)(x+5)} \) \( = \frac{x-3}{x+3} \) Kita dapat mencoba menggantikan \( x \) dengan -3 dalam fungsi yang disederhanakan ini. \( \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x-3}{x+3} = \frac{(-3)-3}{(-3)+3} \) \( = \frac{-6}{0} \) Dalam kasus ini, kita juga mendapatkan bentuk tak terhingga -6/0. Ini menunjukkan bahwa fungsi tidak memiliki batas saat \( x \) mendekati -3 dari sebelah kanan.