Diagonalisasi Matriks dan Proses Ortogonalisasi

Matriks diagonal adalah topik yang penting dalam aljabar linear. Dalam artikel ini, kita akan menjelaskan bagaimana matriks diagonalisasi dapat diterapkan pada matriks \(2 \times 2\) dan \(3 \times 3\), dengan menggunakan contoh latihan soal yang terlampir di buku halaman 311. Kami akan membahas proses ortogonalisasi yang terlibat dan membuktikan hubungan \(A = PDP^{-1}\) untuk matriks diagonalisasi. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang memiliki semua elemen di luar diagonal utama adalah nol. Misalnya, matriks \(A\) dengan elemen-elemen \(a_{ij}\) dapat ditulis sebagai: \[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}\] Matriks diagonalisasi adalah proses mengubah matriks ke bentuk diagonal dengan menggunakan matriks \(P\) dan matriks diagonal \(D\). Matriks \(P\) adalah matriks yang terdiri dari vektor-vektor eigen dari matriks \(A\), sedangkan matriks \(D\) adalah matriks diagonal yang elemen-elemennya adalah nilai eigen dari matriks \(A\). Untuk matriks \(2 \times 2\), kita dapat menggunakan rumus sederhana untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen. Misalnya, matriks \(A\) dengan elemen-elemen \(a_{ij}\) dapat ditulis sebagai: \[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}\] Untuk mencari nilai eigen, kita harus menyelesaikan persamaan karakteristik matriks \(A\), yaitu \(det(A - \lambda I) = 0\), di mana \(\lambda\) adalah nilai eigen yang ingin kita cari, dan \(I\) adalah matriks identitas. Setelah kita menyelesaikan persamaan karakteristik, kita dapat mencari vektor eigen dengan menggunakan \(A - \lambda I\) dan menyelesaikan persamaan \(Ax = \lambda x\). Proses ortogonalisasi melibatkan mengubah matriks \(P\) menjadi matriks ortogonal, di mana setiap kolom matriks \(P\) adalah vektor eigen yang saling tegak lurus. Proses ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode Gram-Schmidt atau metode lainnya. Untuk matriks \(3 \times 3\), proses diagonalisasi dan ortogonalisasi sedikit lebih rumit. Kami akan menggunakan contoh latihan soal yang terlampir di buku halaman 311 untuk menjelaskan proses ini dengan lebih rinci. Jika matriks dapat didiagonalisasi, kita dapat membuktikan hubungan \(A = PDP