Membahas Limit Tak Hingga dari Fungsi Rasional

Dalam matematika, limit tak hingga adalah konsep yang penting dalam mempelajari perilaku fungsi saat variabel mendekati nilai tak terhingga. Salah satu contoh limit tak hingga yang sering ditemui adalah \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2 x+3)^{2}}{2 x^{2}-5 x+2} \). Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menghitung limit ini dan apa artinya dalam konteks matematika. Pertama-tama, mari kita lihat fungsi yang diberikan. Fungsi ini adalah fungsi rasional, yang berarti ia terdiri dari pecahan polinomial. Pada pembilang, kita memiliki \( (2x+3)^2 \), sedangkan pada penyebut kita memiliki \( 2x^2 - 5x + 2 \). Ketika kita mengambil limit saat \( x \) mendekati tak hingga, kita ingin melihat perilaku fungsi ini. Untuk menghitung limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau membagi setiap suku dengan \( x^2 \). Jika kita menggunakan aturan L'Hopital, kita akan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut dan kemudian mengambil limitnya lagi. Namun, dalam kasus ini, kita akan menggunakan metode pembagian dengan \( x^2 \). Jika kita membagi setiap suku dengan \( x^2 \), kita akan mendapatkan \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2 + \frac{3}{x})^2}{2 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}} \). Ketika \( x \) mendekati tak hingga, suku-suku dengan \( \frac{1}{x} \) atau \( \frac{1}{x^2} \) akan mendekati nol. Oleh karena itu, kita dapat mengabaikan suku-suku ini dan mendapatkan \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2^2}{2} \). Hasil akhirnya adalah \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4}{2} = 2 \). Artinya, saat \( x \) mendekati tak hingga, fungsi ini akan mendekati nilai 2. Dalam konteks matematika, limit tak hingga sering digunakan untuk mempelajari perilaku fungsi saat variabel mendekati nilai tak terhingga. Limit ini dapat memberikan informasi tentang asimtot, titik kritis, dan perilaku umum fungsi. Dalam kasus ini, limit \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2 x+3)^{2}}{2 x^{2}-5 x+2} \) memberikan informasi tentang bagaimana fungsi ini mendekati nilai tak hingga. Dalam kesimpulan, limit tak hingga dari fungsi rasional \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2 x+3)^{2}}{2 x^{2}-5 x+2} \) adalah 2. Limit ini memberikan informasi tentang perilaku fungsi saat variabel mendekati tak terhingga.