Menentukan Nilai Optimal untuk Fungsi \(f(x, y) = x^2 + 4y^2 - 4x\)

Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada tugas untuk menentukan nilai optimal dari suatu fungsi. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menentukan nilai optimal untuk fungsi \(f(x, y) = x^2 + 4y^2 - 4x\). Pertama-tama, kita perlu memahami apa yang dimaksud dengan nilai optimal. Dalam konteks ini, nilai optimal merujuk pada nilai \(x\) dan \(y\) yang membuat fungsi \(f(x, y)\) mencapai nilai minimum atau maksimum. Untuk menentukan nilai optimal, kita dapat menggunakan metode Uyl Parsia. Metode ini melibatkan langkah-langkah berikut: 1. Langkah pertama adalah mencari turunan parsial dari fungsi \(f(x, y)\) terhadap \(x\) dan \(y\). Turunan parsial adalah turunan fungsi terhadap satu variabel sementara variabel lainnya dianggap tetap. Dalam kasus ini, turunan parsial terhadap \(x\) adalah \(2x - 4\) dan turunan parsial terhadap \(y\) adalah \(8y\). 2. Setelah mendapatkan turunan parsial, kita perlu mencari titik-titik kritis. Titik kritis adalah titik di mana kedua turunan parsial sama dengan nol. Dalam kasus ini, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan \(2x - 4 = 0\) dan \(8y = 0\). Solusi dari sistem persamaan ini adalah \(x = 2\) dan \(y = 0\). 3. Setelah menemukan titik kritis, kita perlu memeriksa apakah titik tersebut adalah minimum, maksimum, atau titik saddle. Untuk itu, kita dapat menggunakan matriks Hessian. Matriks Hessian adalah matriks yang terdiri dari turunan kedua fungsi terhadap kedua variabel. Dalam kasus ini, matriks Hessian adalah \(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}\). 4. Untuk menentukan jenis titik kritis, kita perlu memeriksa tanda determinan dan elemen diagonal utama dari matriks Hessian. Jika determinan positif dan elemen diagonal utama positif, maka titik kritis adalah minimum. Jika determinan negatif dan elemen diagonal utama positif, maka titik kritis adalah maksimum. Jika determinan negatif dan elemen diagonal utama negatif, maka titik kritis adalah titik saddle. Dalam kasus ini, determinan positif dan elemen diagonal utama positif, sehingga titik kritis \(x = 2\) dan \(y = 0\) adalah minimum. Dengan demikian, nilai optimal untuk fungsi \(f(x, y) = x^2 + 4y^2 - 4x\) adalah minimum saat \(x = 2\) dan \(y = 0\).