Menentukan Nilai \(d\) dan \(f\) agar Garis \(g\) Sejajar dengan Sumbu \(z^{-}\)

Dalam masalah ini, kita diberikan titik-titik \(P\) dan \(Q\) dengan vektor posisi masing-masing \(p=(d,-1,1)\) dan \(q=(1,f,2)\). Tujuan kita adalah untuk menentukan nilai \(d\) dan \(f\) agar garis \(g\) yang melalui \(P\) dan \(Q\) sejajar dengan sumbu \(z^{-}\). Selain itu, kita juga diminta untuk menemukan persamaan garis \(g\) dari hasil perhitungan sebelumnya. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu memperhatikan bahwa garis yang sejajar dengan sumbu \(z^{-}\) memiliki vektor arah \((0,0,-1)\). Oleh karena itu, kita dapat menggunakan persamaan vektor untuk mencari nilai \(d\) dan \(f\) yang memenuhi persyaratan ini. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan persamaan vektor yang menghubungkan titik \(P\) dan \(Q\), yaitu \(\mathbf{q} - \mathbf{p} = (1,f,2) - (d,-1,1) = (1-d, f+1, 1)\). Karena garis \(g\) sejajar dengan sumbu \(z^{-}\), maka vektor arahnya harus sejajar dengan \((0,0,-1)\). Oleh karena itu, kita dapat menetapkan \(1-d = 0\) dan \(f+1 = 0\) untuk mencari nilai \(d\) dan \(f\) yang memenuhi persyaratan ini. Dari persamaan \(1-d = 0\), kita dapat simpulkan bahwa \(d = 1\). Selanjutnya, dari persamaan \(f+1 = 0\), kita dapat simpulkan bahwa \(f = -1\). Oleh karena itu, nilai \(d\) dan \(f\) yang memenuhi persyaratan agar garis \(g\) sejajar dengan sumbu \(z^{-}\) adalah \(d = 1\) dan \(f = -1\). Dengan mengetahui nilai \(d\) dan \(f\), kita dapat menentukan persamaan garis \(g\) yang melalui titik \(P\) dan \(Q\). Dalam hal ini, kita dapat menggunakan titik \(P\) dan vektor arah garis \(g\) yang sejajar dengan sumbu \(z^{-}\), yaitu \((0,0,-1)\). Oleh karena itu, persamaan garis \(g\) dapat ditulis sebagai \(x = 1\) dan \(y = -1\), dengan \(z\) sebagai parameter. Dengan demikian, kita telah menentukan nilai \(d\) dan \(f\) agar garis \(g\) sejajar dengan sumbu \(z^{-}\) dan juga menemukan persamaan garis \(g\) dari hasil perhitungan sebelumnya.