Mencari Turunan Keenam dari \(e^{2x} \cos x\) dengan Persamaan Lebruz

Dalam matematika, turunan adalah operasi yang menghitung perubahan suatu fungsi terhadap variabel independennya. Turunan keenam dari suatu fungsi adalah turunan keenam terhadap variabel independen. Dalam artikel ini, kita akan mencari turunan keenam dari fungsi \(e^{2x} \cos x\) menggunakan persamaan Lebruz. Persamaan Lebruz adalah persamaan diferensial yang digunakan untuk mencari turunan tingkat tinggi dari suatu fungsi. Persamaan ini ditemukan oleh matematikawan Prancis, Pierre Lebruz, pada abad ke-18. Persamaan Lebruz dapat dinyatakan sebagai berikut: \[ \frac{d^n}{dx^n} (f(x) \cdot g(x)) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cdot \frac{d^k f(x)}{dx^k} \cdot \frac{d^{n-k} g(x)}{dx^{n-k}} \] Dalam persamaan di atas, \( \frac{d^n}{dx^n} \) adalah turunan tingkat n, \( f(x) \) dan \( g(x) \) adalah dua fungsi yang akan dikalikan, dan \( \binom{n}{k} \) adalah koefisien binomial. Untuk mencari turunan keenam dari \(e^{2x} \cos x\), kita dapat menggunakan persamaan Lebruz dengan \( f(x) = e^{2x} \) dan \( g(x) = \cos x \). Dalam hal ini, \( n = 6 \) karena kita ingin mencari turunan keenam. Menggunakan persamaan Lebruz, kita dapat menghitung turunan keenam sebagai berikut: \[ \frac{d^6}{dx^6} (e^{2x} \cos x) = \binom{6}{0} \cdot \frac{d^0 (e^{2x})}{dx^0} \cdot \frac{d^6 (\cos x)}{dx^6} + \binom{6}{1} \cdot \frac{d^1 (e^{2x})}{dx^1} \cdot \frac{d^5 (\cos x)}{dx^5} + \binom{6}{2} \cdot \frac{d^2 (e^{2x})}{dx^2} \cdot \frac{d^4 (\cos x)}{dx^4} + \binom{6}{3} \cdot \frac{d^3 (e^{2x})}{dx^3} \cdot \frac{d^3 (\cos x)}{dx^3} + \binom{6}{4} \cdot \frac{d^4 (e^{2x})}{dx^4} \cdot \frac{d^2 (\cos x)}{dx^2} + \binom{6}{5} \cdot \frac{d^5 (e^{2x})}{dx^5} \cdot \frac{d^1 (\cos x)}{dx^1} + \binom{6}{6} \cdot \frac{d^6 (e^{2x})}{dx^6} \cdot \frac{d^0 (\cos x)}{dx^0} \] Sekarang, kita perlu menghitung turunan dari \(e^{2x}\) dan \(\cos x\) sesuai dengan turunan yang diperlukan dalam persamaan Lebruz. Setelah itu, kita dapat menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan Lebruz dan menghitung turunan keenam dari \(e^{