Membahas Nilai dari $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {1-cos5x}{tan^{2}2x}$

Dalam matematika, kita sering dihadapkan pada masalah mencari nilai batas suatu fungsi saat variabel mendekati suatu titik tertentu. Salah satu contoh masalah ini adalah mencari nilai dari $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {1-cos5x}{tan^{2}2x}$. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana cara menyelesaikan masalah ini dan menemukan nilai batas yang tepat. Pertama-tama, mari kita perhatikan fungsi yang diberikan. Fungsi ini terdiri dari dua bagian, yaitu $1-cos5x$ dan $tan^{2}2x$. Kita dapat menggunakan beberapa sifat trigonometri untuk menyederhanakan fungsi ini. Misalnya, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $cos2x=1-2sin^{2}x$ untuk menyederhanakan $1-cos5x$ menjadi $2sin^{2}\frac {5x}{2}$. Selanjutnya, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $tan^{2}x=sec^{2}x-1$ untuk menyederhanakan $tan^{2}2x$ menjadi $sec^{2}2x-1$. Dengan melakukan substitusi ini, kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi $\frac {2sin^{2}\frac {5x}{2}}{sec^{2}2x-1}$. Sekarang, kita dapat mencari nilai batas dari fungsi ini saat $x$ mendekati 0. Untuk melakukannya, kita dapat menggunakan beberapa sifat limit dan aturan limit. Pertama, kita dapat menggunakan aturan limit untuk memisahkan fungsi menjadi dua limit terpisah. Kita dapat menulis $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {2sin^{2}\frac {5x}{2}}{sec^{2}2x-1}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {2sin^{2}\frac {5x}{2}}{sec^{2}2x-1}\cdot \frac {cos^{2}2x}{cos^{2}2x}$. Dengan melakukan ini, kita dapat menggunakan aturan limit untuk membagi limit menjadi dua limit terpisah. Selanjutnya, kita dapat menggunakan aturan limit trigonometri untuk menyederhanakan fungsi ini lebih lanjut. Kita dapat menggunakan aturan limit $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sinx}{x}=1$ untuk menyederhanakan $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {2sin^{2}\frac {5x}{2}}{cos^{2}2x}$. Dengan melakukan ini, kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {2\left( \frac {sin\frac {5x}{2}}{\frac {5x}{2}}\right) ^{2}}{\left( \frac {cos2x}{1}\right) ^{2}}$. Sekarang, kita dapat menggunakan aturan limit untuk menghilangkan limit dalam fungsi ini. Kita dapat menulis $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {2\left( \frac {sin\frac {5x}{2}}{\frac {5x}{2}}\right) ^{2}}{\left( \frac {cos2x}{1}\right) ^{2}}=\frac {2\left( \lim _{x\rightarrow 0}\frac {sin\frac {5x}{2}}{\frac {5x}{2}}\right) ^{2}}{\left( \lim _{x\rightarrow 0}\frac {cos2x}{1}\right) ^{2}}$. Dengan melakukan ini, kita dapat menghilangkan limit dalam fungsi ini. Terakhir, kita dapat menggunakan aturan limit trigonometri untuk menyelesaikan limit dalam fungsi ini. Kita dapat menggunakan aturan limit $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sinx}{x}=1$ dan $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {cosx}{1}=1$ untuk menyelesaikan limit dalam fungsi ini. Dengan melakukan ini, kita dapat menulis $\frac {2\left( 1\right) ^{2}}{\left( 1\right) ^{2}}=2$. Jadi, nilai dari $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {1-cos5x}{tan^{2}2x}$ adalah 2.