Mencari Nilai P dalam Deret Geometri

Dalam matematika, deret geometri adalah deret bilangan di mana setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Dalam persoalan ini, kita diminta untuk mencari nilai P yang sesuai dengan deret geometri yang diberikan. Deret geometri yang diberikan adalah \( \frac{3}{4}+\frac{3}{2}+3+6+\ldots+P=\frac{765}{4} \). Kita harus mencari nilai P yang memenuhi persamaan ini. Untuk mencari nilai P, kita perlu menggunakan rumus umum untuk deret geometri. Rumus umum ini adalah \( S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \), di mana \( S_n \) adalah jumlah suku ke-n, \( a \) adalah suku pertama, \( r \) adalah rasio, dan \( n \) adalah jumlah suku. Dalam deret geometri ini, suku pertama adalah \( \frac{3}{4} \) dan rasio adalah \( \frac{3}{2} \). Kita juga tahu bahwa jumlah suku adalah \( \frac{765}{4} \). Dengan menggunakan rumus umum deret geometri, kita dapat menggantikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus tersebut. Kita dapat menulis persamaan berikut: \( \frac{765}{4} = \frac{\frac{3}{4}(1-(\frac{3}{2})^n)}{1-\frac{3}{2}} \) Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi dengan \( \frac{4}{3} \): \( 765 = \frac{3}{4}(1-(\frac{3}{2})^n) \) Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi dengan \( \frac{4}{3} \): \( 1020 = 1-(\frac{3}{2})^n \) Kita dapat memindahkan \( (\frac{3}{2})^n \) ke sisi kiri persamaan: \( (\frac{3}{2})^n = 1 - 1020 \) Kemudian, kita dapat menyederhanakan persamaan ini: \( (\frac{3}{2})^n = -1019 \) Untuk mencari nilai n, kita dapat mengambil logaritma basis 3/2 dari kedua sisi persamaan: \( n = \log_{\frac{3}{2}}(-1019) \) Namun, perhatikan bahwa logaritma dari bilangan negatif tidak terdefinisi dalam bilangan real. Oleh karena itu, tidak ada nilai n yang memenuhi persamaan ini. Dengan demikian, tidak ada nilai P yang memenuhi persamaan \( \frac{3}{4}+\frac{3}{2}+3+6+\ldots+P=\frac{765}{4} \). Jadi, jawaban yang tepat untuk pertanyaan ini adalah E. 80.