Solusi Persamaan Diferensial Orde Ke-4 dan Ke-3

Persamaan diferensial orde ke-4 dapat ditulis sebagai \( y^{i v}-y=-30 e^{-2 x} \). Solusi umum persamaan ini terdiri dari solusi homogen dan solusi partikular. Solusi homogen, \( y_{h}(t) \), diberikan oleh \( y_{h}(t)=c_{1} e^{t}+c_{2} e^{t}+c_{3} \cos (t)+c_{4} \sin (t) \), di mana \( c_{1}, c_{2}, c_{3} \) adalah konstanta. Solusi partikular, \( y_{p}(t) \), diberikan oleh \( y_{p}(t)=-6 e^{-2 x} \). Dengan menggabungkan solusi homogen dan solusi partikular, solusi umum persamaan diferensial orde ke-4 adalah \( y(t)=c_{1} e^{t}+c_{2} e^{-t}+c_{3} \cos (t)+c_{4} \sin (t)-6 e^{-2 x} \). Persamaan diferensial orde ke-3, \( y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=6 e^{x} \), juga memiliki solusi umum yang terdiri dari solusi homogen dan solusi partikular. Solusi homogen, \( y_{h}(t) \), diberikan oleh \( y_{h}(t)=c_{1} e^{t}+c_{2} t e^{t}+c_{3} t^{2} e^{t} \), di mana \( c_{1}, c_{2}, c_{3} \) adalah konstanta. Solusi partikular, \( y_{p}(t) \), diberikan oleh \( y_{p}(t)=A e^{x} \), di mana \( A \) adalah konstanta yang harus ditentukan. Dalam kasus ini, solusi partikularnya adalah \( y_{p}(t)=6 e^{x} \). Dengan menggabungkan solusi homogen dan solusi partikular, solusi umum persamaan diferensial orde ke-3 adalah \( y(t)=c_{1} e^{t}+c_{2} t e^{t}+c_{3} t^{2} e^{t}+6 e^{x} \). Dalam kedua kasus, solusi umum persamaan diferensial ditemukan dengan menggabungkan solusi homogen dan solusi partikular. Solusi homogen diperoleh dari persamaan karakteristik, sementara solusi partikular ditemukan dengan menggunakan metode variasi parameter.