Mencari Turunan \( \frac{d\omega}{dt} \) dari \( \omega = x^3y \), dengan \( x = st^2 \) dan \( y = s - t^2 \)

Dalam matematika, turunan adalah salah satu konsep penting yang digunakan untuk menghitung perubahan suatu fungsi terhadap variabel independennya. Dalam artikel ini, kita akan mencari turunan dari fungsi \( \omega = x^3y \), dengan \( x = st^2 \) dan \( y = s - t^2 \). Pertama, mari kita ganti nilai \( x \) dan \( y \) ke dalam fungsi \( \omega \). Dengan menggantikan \( x \) dan \( y \) dengan \( st^2 \) dan \( s - t^2 \) secara berturut-turut, kita dapat menulis ulang fungsi \( \omega \) sebagai berikut: \[ \omega = (st^2)^3(s - t^2) \] Selanjutnya, kita akan mencari turunan \( \frac{d\omega}{dt} \) dari fungsi \( \omega \). Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan aturan rantai dalam diferensiasi. Aturan rantai menyatakan bahwa jika kita memiliki fungsi \( f(g(t)) \), maka turunan dari fungsi tersebut terhadap \( t \) dapat dihitung dengan mengalikan turunan dari \( f \) terhadap \( g \) dengan turunan dari \( g \) terhadap \( t \). Dalam kasus ini, kita memiliki fungsi \( \omega \) yang merupakan hasil perkalian dari \( (st^2)^3 \) dan \( (s - t^2) \). Kita akan memperlakukan \( (st^2)^3 \) sebagai fungsi \( f \) dan \( (s - t^2) \) sebagai fungsi \( g \). Pertama, kita akan mencari turunan dari \( (st^2)^3 \) terhadap \( t \). Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai menyatakan bahwa jika kita memiliki fungsi \( f(g(t)) \), maka turunan dari fungsi tersebut terhadap \( t \) dapat dihitung dengan mengalikan turunan dari \( f \) terhadap \( g \) dengan turunan dari \( g \) terhadap \( t \). Dalam kasus ini, kita memiliki fungsi \( (st^2)^3 \) yang merupakan hasil perkalian dari \( st^2 \) dengan dirinya sendiri tiga kali. Kita akan memperlakukan \( st^2 \) sebagai fungsi \( f \) dan \( t \) sebagai fungsi \( g \). Turunan dari \( st^2 \) terhadap \( t \) adalah \( 2st \). Jadi, turunan dari \( (st^2)^3 \) terhadap \( t \) adalah \( 3(st^2)^2 \cdot 2st \). Selanjutnya, kita akan mencari turunan dari \( (s - t^2) \) terhadap \( t \). Karena \( s \) tidak tergantung pada \( t \), turunan dari \( (s - t^2) \) terhadap \( t \) adalah \( -2t \). Sekarang, kita dapat mengalikan turunan dari \( (st^2)^3 \) terhadap \( t \) dengan turunan dari \( (s - t^2) \) terhadap \( t \) untuk mendapatkan turunan \( \frac{d\omega}{dt} \) dari fungsi \( \omega \). \[ \frac{d\omega}{dt} = 3(st^2)^2 \cdot 2st \cdot (s - t^2) + (st^2)^3 \cdot (-2t) \] Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan ini untuk mendapatkan hasil akhir. Dengan mengalikan dan menyederhanakan suku-suku yang ada, kita dapat mencari turunan \( \frac{d\omega}{dt} \) dari fungsi \( \omega \) dengan mudah. Dalam artikel ini, kita telah berhasil mencari turunan \( \frac{d\omega}{dt} \) dari fungsi \( \omega = x^3y \), dengan \( x = st^2 \) dan \( y = s - t^2 \). Turunan ini adalah \( 3(st^2)^2 \cdot 2st \cdot (s - t^2) + (st^2)^3 \cdot (-2t) \). Dengan mengetahui turunan ini, kita dapat menghitung perubahan \( \omega \) terhadap \( t \) dengan mudah. Turunan ini juga dapat digunakan dalam berbagai aplikasi matematika dan fisika untuk menghitung perubahan suatu fungsi terhadap variabel independennya.