Metode Determinan Sarrus: Solusi untuk Menentukan Nilai x, y, dan z

Metode Determinan Sarrus adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Metode ini sangat berguna dalam menentukan nilai x, y, dan z dalam sistem persamaan linear yang kompleks. Dalam artikel ini, kita akan menjelaskan langkah-langkah yang terlibat dalam menggunakan metode Determinan Sarrus dan bagaimana metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang diberikan. Pertama-tama, mari kita tinjau sistem persamaan linear yang diberikan: \[ \begin{aligned} x+y+z & =3 \\ 3y-x & =21 \\ 2x+y+2z & =-5 \end{aligned} \] Langkah pertama dalam menggunakan metode Determinan Sarrus adalah mengatur persamaan-persamaan ini dalam bentuk matriks. Dalam kasus ini, matriks yang terbentuk adalah: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 21 \\ -5 \\ \end{bmatrix} \] Selanjutnya, kita akan menggunakan metode Determinan Sarrus untuk menentukan nilai x, y, dan z. Metode ini melibatkan perhitungan determinan dari matriks koefisien dan determinan dari matriks augmented. Determinan matriks koefisien dapat dihitung dengan menggunakan aturan Sarrus. Dalam kasus ini, determinan matriks koefisien adalah: \[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} & = (1 \times 3 \times 2) + (1 \times 0 \times 2) + (1 \times (-1) \times 1) \\ & \quad - (1 \times 3 \times 1) - (1 \times 0 \times 2) - (1 \times (-1) \times 2) \\ & = 6 + 0 - 1 - 3 + 0 + 2 \\ & = 4 \end{aligned} \] Determinan matriks augmented dapat dihitung dengan menggantikan kolom pertama matriks koefisien dengan matriks kolom hasil. Dalam kasus ini, determinan matriks augmented adalah: \[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 21 & 3 & 0 \\ -5 & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} & = (3 \times 3 \times 2) + (1 \times 0 \times (-5)) + (1 \times 21 \times 1) \\ & \quad - (1 \times 3 \times 1) - (1 \times 0 \times 2) - (1 \times 21 \times 3) \\ & = 18 + 0 + 21 - 3 + 0 - 63 \\ & = -27 \end{aligned} \] Setelah menghitung determinan matriks koefisien dan determinan matriks augmented, kita dapat menggunakan rumus Cramer untuk menentukan nilai x, y, dan z. Rumus Cramer adalah: \[ x = \frac{{\text{{Determinan matriks augmented dengan kolom pertama diganti dengan matriks kolom hasil}}}}{{\text{{Determinan matriks koefisien}}}} = \frac{{-27}}{{4}} = -\frac{{27}}{{4}} \] \[ y = \frac{{\text{{Determinan matriks augmented dengan kolom kedua diganti dengan matriks kolom hasil}}}}{{\text{{Determinan matriks koefisien}}}} = \frac{{-27}}{{4}} = -\frac{{27}}{{4}} \] \[ z = \frac{{\text{{Determinan matriks augmented dengan kolom ketiga diganti dengan matriks kolom hasil}}}}{{\text{{Determinan matriks koefisien}}}} = \frac{{-27}}{{4}} = -\frac{{27}}{{4