Transformasi Koordinat Kutub dalam Menghitung Laju Aliran Fluid

Dalam matematika, transformasi koordinat kutub adalah metode yang digunakan untuk mengubah koordinat kartesian (x, y) menjadi koordinat kutub (r, θ). Dalam konteks ini, kita akan menggunakan transformasi koordinat kutub untuk menghitung laju aliran fluida. Dalam transformasi koordinat kutub, kita menggunakan persamaan \(x = r \cos \theta\) dan \(y = r \sin \theta\), di mana x dan y adalah koordinat kartesian, r adalah jarak dari titik ke pusat koordinat, dan θ adalah sudut antara sumbu x positif dan garis yang menghubungkan titik dengan pusat koordinat. Misalnya, kita memiliki lingkaran dengan persamaan \(x^2 + y^2 = 2x\). Kita dapat mentransformasikannya ke dalam koordinat kutub dengan menggantikan x dan y dengan persamaan transformasi. Dengan melakukan substitusi, kita mendapatkan persamaan \(r = 2 \cos \theta\), dengan batasan sudut -π/2 ≤ θ ≤ π/2. Untuk menghitung laju aliran fluida melalui lingkaran ini, kita dapat menggunakan integral ganda. Dalam hal ini, laju aliran fluida didefinisikan sebagai integral ganda dari fungsi \(x^2 + y^2\) di atas daerah R yang dibatasi oleh lingkaran. Dengan menggunakan transformasi koordinat kutub, kita dapat mengubah integral ganda menjadi integral tunggal. Dalam hal ini, integral tunggal adalah integral dari \(r^2\) terhadap r, dengan batasan r dari 0 hingga 2cosθ, dan θ dari -π/2 hingga π/2. Setelah melakukan perhitungan integral, kita dapat menemukan bahwa laju aliran fluida yang keluar dari daerah R adalah \( \frac{9}{2} \pi \) satuan luas per satuan waktu. Dengan demikian, transformasi koordinat kutub dapat digunakan secara efektif dalam menghitung laju aliran fluida melalui daerah yang kompleks. Metode ini memungkinkan kita untuk mengubah integral ganda menjadi integral tunggal, yang mempermudah perhitungan dan analisis.