Menentukan Garis Singgung pada Kurva yang Egal Lurus dengan Garis

Dalam matematika, garis singgung pada suatu kurva adalah garis yang hanya menyentuh kurva tersebut di satu titik. Dalam soal ini, kita diminta untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva $x^{2}-y+2x-3=0$ yang juga tegak lurus dengan garis $x-2y-3=0$. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggunakan konsep turunan. Turunan dari suatu fungsi adalah perubahan nilai fungsi terhadap perubahan nilai variabelnya. Dalam kasus ini, kita perlu mencari turunan dari fungsi $x^{2}-y+2x-3=0$. Langkah pertama adalah menyelesaikan persamaan kurva menjadi bentuk yang lebih sederhana. Dalam hal ini, kita dapat mengubah persamaan menjadi bentuk $y=x^{2}+2x-3$. Setelah itu, kita dapat mencari turunan dari fungsi ini. Turunan dari fungsi kuadrat $y=x^{2}+2x-3$ dapat ditemukan dengan menggunakan aturan turunan. Aturan turunan untuk fungsi kuadrat adalah mengalikan koefisien pangkat dengan pangkat, dan mengurangi pangkat dengan 1. Dalam hal ini, turunan dari fungsi kuadrat ini adalah $y'=2x+2$. Selanjutnya, kita perlu mencari persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $x-2y-3=0$. Untuk mencari garis yang tegak lurus, kita perlu mencari gradiennya terlebih dahulu. Gradien dari garis $x-2y-3=0$ dapat ditemukan dengan mengubah persamaan menjadi bentuk $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$. Dalam hal ini, gradien garis tersebut adalah $\frac{1}{2}$. Karena garis singgung pada kurva harus tegak lurus dengan garis $x-2y-3=0$, maka gradien garis singgung harus merupakan kebalikan dari gradien garis tersebut. Dalam hal ini, gradien garis singgung adalah $-\frac{1}{2}$. Dengan mengetahui gradien garis singgung, kita dapat menggunakan titik yang diketahui pada kurva untuk mencari persamaan garis singgung. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan titik potong antara kurva dan garis $x-2y-3=0$. Untuk mencari titik potong, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan antara kurva dan garis tersebut. Setelah menyelesaikan sistem persamaan, kita dapat menemukan titik potong antara kurva dan garis $x-2y-3=0$ adalah $(-1, -2)$. Dengan mengetahui titik potong ini, kita dapat menggunakan persamaan garis umum $y=mx+c$ untuk mencari persamaan garis singgung. Dalam hal ini, gradien garis singgung adalah $-\frac{1}{2}$ dan titik potong adalah $(-1, -2)$. Dengan menggunakan persamaan garis umum, kita dapat mencari konstanta $c$ dengan menggantikan nilai gradien dan titik potong ke dalam persamaan. Setelah mencari konstanta $c$, kita dapat menemukan persamaan garis singgung pada kurva $x^{2}-y+2x-3=0$ yang tegak lurus dengan garis $x-2y-3=0$ adalah $y+2x+7=0$. Dengan demikian, persamaan garis singgung pada kurva yang tegak lurus dengan garis $x-2y-3=0$ adalah $y+2x+7=0$.