Mencari Nilai dari \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \) Berdasarkan Persamaan

Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada persoalan untuk mencari nilai dari suatu ekspresi berdasarkan persamaan yang diberikan. Dalam kasus ini, kita diberikan dua persamaan: \( \frac{x}{a} \cos \emptyset+\frac{y}{b} \sin \emptyset=1 \) dan \( \frac{x}{a} \sin \emptyset-\frac{y}{b} \cos \emptyset=-1 \) Tugas kita adalah untuk mencari nilai dari ekspresi \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \) berdasarkan persamaan-persamaan ini. Untuk memulai, kita dapat menggunakan metode eliminasi untuk menyingkirkan salah satu variabel. Dalam hal ini, kita akan menyingkirkan variabel \( \emptyset \). Dengan mengalikan persamaan pertama dengan \( \sin \emptyset \) dan persamaan kedua dengan \( \cos \emptyset \), kita dapat mengeliminasi \( \emptyset \) dan mendapatkan persamaan baru: \( \frac{x}{a} \cos \emptyset \sin \emptyset+\frac{y}{b} \sin^{2} \emptyset=\sin \emptyset \) dan \( \frac{x}{a} \sin \emptyset \cos \emptyset-\frac{y}{b} \cos^{2} \emptyset=-\cos \emptyset \) Dengan menggabungkan kedua persamaan ini, kita dapat menyederhanakan menjadi: \( \frac{x}{a} \sin \emptyset \cos \emptyset+\frac{y}{b} \sin^{2} \emptyset-\frac{x}{a} \sin \emptyset \cos \emptyset+\frac{y}{b} \cos^{2} \emptyset=\sin \emptyset-\cos \emptyset \) Setelah menyederhanakan, kita dapat menghilangkan beberapa suku yang sama dan mendapatkan: \( \frac{y}{b} (\sin^{2} \emptyset+\cos^{2} \emptyset)=\sin \emptyset-\cos \emptyset \) Karena \( \sin^{2} \emptyset+\cos^{2} \emptyset=1 \), persamaan ini menjadi: \( \frac{y}{b}= \sin \emptyset-\cos \emptyset \) Selanjutnya, kita dapat menggantikan nilai \( \frac{y}{b} \) dalam persamaan pertama dengan nilai ini: \( \frac{x}{a} \cos \emptyset+\frac{(\sin \emptyset-\cos \emptyset)b}{b} \sin \emptyset=1 \) Setelah menyederhanakan, kita dapat menghilangkan suku yang sama dan mendapatkan: \( \frac{x}{a} \cos \emptyset+(\sin \emptyset-\cos \emptyset) \sin \emptyset=1 \) Kita dapat menyederhanakan persamaan ini lebih lanjut dengan menggabungkan suku-suku yang sama: \( \frac{x}{a} \cos \emptyset+\sin^{2} \emptyset-\cos \emptyset \sin \emptyset=1 \) Karena \( \sin^{2} \emptyset-\cos \emptyset \sin \emptyset=1 \), persamaan ini menjadi: \( \frac{x}{a} \cos \emptyset+1=1 \) Setelah menyederhanakan, kita dapat menghilangkan suku yang sama dan mendapatkan: \( \frac{x}{a} \cos \emptyset=0 \) Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \frac{x}{a} = 0 \). Oleh karena itu, \( x = 0 \). Sekarang, kita dapat menggantikan nilai \( x \) dalam persamaan kedua dengan nilai ini: \( \frac{0}{a} \sin \emptyset-\frac{y}{b} \cos \emptyset=-1 \) Setelah menyederhanakan, kita dapat menghilangkan suku yang sama dan mendapatkan: \( -\frac{y}{b} \cos \emptyset=-1 \) Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \frac{y}{b} = 1 \). Oleh karena itu, \( y = b \). Sekarang kita memiliki nilai \( x = 0 \) dan \( y = b \). Kita dapat menggantikan nilai-nilai ini dalam ekspresi \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \) dan mencari hasilnya: \( \frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}} = \frac{0}{a^{2}}+1 = 0+1 = 1 \) Jadi, hasil dari \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \) adalah 1. Dalam kesimpulan, dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita dapat menemukan nilai dari \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \) berdasarkan persamaan yang diberikan. Dalam kasus ini, hasilnya adalah 1.