Solusi Sistem Persamaan Linear Menggunakan Metode Eliminasi Gauss

Dalam matematika, sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan linear yang harus diselesaikan secara bersamaan. Salah satu metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah metode eliminasi Gauss. Metode eliminasi Gauss melibatkan serangkaian operasi baris elementer untuk mengubah sistem persamaan linear menjadi bentuk yang lebih sederhana. Tujuan akhir dari metode ini adalah untuk mendapatkan solusi unik atau solusi yang tidak terhingga dari sistem persamaan linear. Mari kita lihat contoh sistem persamaan linear berikut: $2x+2y+4z=0$ $w-y-3z=0$ $2w+3x+y+z=0$ $-2w+x+3y-2z=0$ Langkah pertama dalam metode eliminasi Gauss adalah mengubah sistem persamaan linear menjadi matriks augmented. Matriks augmented adalah matriks yang terdiri dari koefisien variabel dan konstanta pada setiap persamaan. Dalam contoh ini, matriks augmented untuk sistem persamaan linear di atas adalah: $\begin{bmatrix} 2 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & -3 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 & -2 \end{bmatrix}$ Langkah selanjutnya adalah menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah matriks augmented menjadi bentuk yang lebih sederhana. Operasi baris elementer melibatkan tiga jenis operasi: menukar dua baris, mengalikan baris dengan suatu konstanta, dan menambahkan atau mengurangi baris dengan baris lain. Setelah melakukan serangkaian operasi baris elementer, kita dapat mencapai bentuk matriks augmented yang lebih sederhana, seperti matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah. Dalam bentuk ini, kita dapat dengan mudah menentukan solusi sistem persamaan linear. Dalam contoh ini, setelah melakukan operasi baris elementer, kita dapat mencapai bentuk matriks segitiga atas berikut: $\begin{bmatrix} 2 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & -3 & -7 & 0 \\ 0 & 0 & -14 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{bmatrix}$ Dari bentuk matriks segitiga atas ini, kita dapat dengan mudah menentukan solusi sistem persamaan linear. Solusi sistem persamaan linear ini adalah: $w = t$ $x = -t$ $y = t$ $z = 0$ Dalam solusi ini, $t$ adalah parameter yang dapat mengambil nilai apa pun. Dengan mengganti nilai $t$, kita dapat mendapatkan berbagai solusi yang memenuhi sistem persamaan linear. Dalam kesimpulan, metode eliminasi Gauss adalah metode yang efektif untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dengan menggunakan serangkaian operasi baris elementer, kita dapat mengubah sistem persamaan linear menjadi bentuk yang lebih sederhana dan menentukan solusinya.