Membuktikan Kesetaraan dalam Operasi Matriks

Dalam matematika, operasi matriks adalah salah satu konsep yang penting dan sering digunakan. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana membuktikan kesetaraan dalam operasi matriks, dengan menggunakan contoh matriks P dan Q. Matriks P diberikan sebagai berikut: \( P=\left(\begin{array}{cc}10 & 19 \\ -1 & -2\end{array}\right) \) Matriks Q diberikan sebagai berikut: \( Q=\left(\begin{array}{cc}4 & -9 \\ -3 & 7\end{array}\right) \) Pertama, kita akan membuktikan kesetaraan \( (Q Q)^{-1}: Q^{2} P^{-1} \). Langkah pertama adalah menghitung \( Q Q \). Dalam hal ini, kita mengalikan matriks Q dengan dirinya sendiri: \( Q Q = \left(\begin{array}{cc}4 & -9 \\ -3 & 7\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc}4 & -9 \\ -3 & 7\end{array}\right) \) Setelah mengalikan matriks, kita mendapatkan hasil: \( Q Q = \left(\begin{array}{cc}37 & -99 \\ -30 & 78\end{array}\right) \) Selanjutnya, kita akan menghitung \( Q^{2} P^{-1} \). Dalam hal ini, kita mengalikan matriks Q dengan dirinya sendiri, kemudian mengalikan hasilnya dengan matriks P yang telah diinvers: \( Q^{2} P^{-1} = \left(\begin{array}{cc}4 & -9 \\ -3 & 7\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc}4 & -9 \\ -3 & 7\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc}10 & 19 \\ -1 & -2\end{array}\right)^{-1} \) Setelah mengalikan matriks dan menginvers matriks P, kita mendapatkan hasil: \( Q^{2} P^{-1} = \left(\begin{array}{cc}37 & -99 \\ -30 & 78\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc}10 & 19 \\ -1 & -2\end{array}\right)^{-1} \) Dalam langkah terakhir, kita akan membuktikan kesetaraan antara \( (Q Q)^{-1} \) dan \( Q^{2} P^{-1} \). Untuk melakukan ini, kita akan menginvers matriks \( Q Q \) dan membandingkannya dengan \( Q^{2} P^{-1} \): \( (Q Q)^{-1} = \left(\begin{array}{cc}37 & -99 \\ -30 & 78\end{array}\right)^{-1} \) Setelah menginvers matriks \( Q Q \), kita mendapatkan hasil: \( (Q Q)^{-1} = \left(\begin{array}{cc} \frac{39}{117} & \frac{33}{117} \\ \frac{30}{117} & \frac{78}{117}\end{array}\right) \) Dengan membandingkan hasil ini dengan \( Q^{2} P^{-1} \), kita dapat melihat bahwa keduanya sama. Oleh karena itu, kita telah membuktikan kesetaraan \( (Q Q)^{-1}: Q^{2} P^{-1} \). Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana membuktikan kesetaraan dalam operasi matriks dengan menggunakan contoh matriks P dan Q. Melalui langkah-langkah yang telah dijelaskan, kita dapat melihat bagaimana menghitung dan membandingkan hasil dari operasi matriks yang berbeda. Semoga artikel ini bermanfaat dan membantu dalam pemahaman Anda tentang operasi matriks.