Mengapa Relasi pada Himpunan Bilangan Real Bukan Relasi Ekuivalen?

Relasi adalah konsep penting dalam matematika yang memungkinkan kita untuk memahami hubungan antara elemen-elemen dalam suatu himpunan. Dalam konteks ini, kita akan membahas relasi pada himpunan bilangan real B dan membuktikan bahwa relasi yang diberikan, yaitu |a-b| < 2, bukanlah relasi ekuivalen. Selain itu, kita juga akan memeriksa sifat transitif dari relasi tersebut. Pertama-tama, mari kita tinjau definisi relasi ekuivalen. Suatu relasi pada himpunan B dikatakan ekuivalen jika memenuhi tiga sifat, yaitu refleksif, simetris, dan transitif. Namun, dalam kasus relasi |a-b| < 2, kita akan melihat bahwa relasi ini tidak memenuhi sifat-sifat tersebut. Pertama, mari kita periksa sifat refleksif. Suatu relasi dikatakan refleksif jika setiap elemen dalam himpunan terkait dengan dirinya sendiri. Dalam relasi |a-b| < 2, tidak semua elemen dalam himpunan B terkait dengan dirinya sendiri. Misalnya, jika kita mempertimbangkan bilangan 3 dalam himpunan B, tidak ada bilangan lain dalam himpunan B yang memiliki selisih absolut kurang dari 2 dengan bilangan 3. Oleh karena itu, relasi ini tidak memenuhi sifat refleksif. Selanjutnya, mari kita periksa sifat simetris. Suatu relasi dikatakan simetris jika setiap kali a terkait dengan b, maka b juga terkait dengan a. Dalam relasi |a-b| < 2, jika a terkait dengan b, artinya |a-b| < 2, tidak selalu berarti bahwa b terkait dengan a. Misalnya, jika kita mempertimbangkan bilangan 1 dan 3 dalam himpunan B, |1-3| < 2, tetapi |3-1| = 2, yang berarti bahwa relasi ini tidak memenuhi sifat simetris. Terakhir, mari kita periksa sifat transitif. Suatu relasi dikatakan transitif jika setiap kali a terkait dengan b dan b terkait dengan c, maka a juga terkait dengan c. Dalam relasi |a-b| < 2, jika a terkait dengan b dan b terkait dengan c, artinya |a-b| < 2 dan |b-c| < 2, tidak selalu berarti bahwa a terkait dengan c. Misalnya, jika kita mempertimbangkan bilangan 1, 2, dan 3 dalam himpunan B, |1-2| < 2 dan |2-3| < 2, tetapi |1-3| = 2, yang berarti bahwa relasi ini tidak memenuhi sifat transitif. Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa relasi |a-b| < 2 pada himpunan bilangan real B bukanlah relasi ekuivalen. Relasi ini tidak memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa relasi ini tidak memenuhi kriteria untuk menjadi relasi ekuivalen. Selain membuktikan bahwa relasi ini bukan relasi ekuivalen, kita juga dapat memeriksa sifat transitif dari relasi tersebut. Sifat transitif adalah sifat yang memungkinkan kita untuk menghubungkan elemen-elemen dalam relasi secara berurutan. Dalam relasi |a-b| < 2, jika a terkait dengan b dan b terkait dengan c, maka a juga terkait dengan c. Misalnya, jika kita mempertimbangkan bilangan 1, 2, dan 3 dalam himpunan B, |1-2| < 2 dan |2-3| < 2, yang berarti bahwa |1-3| < 2. Oleh karena itu, relasi ini memenuhi sifat transitif. Dalam kasus kedua, kita diminta untuk menentukan f.g, di mana f(x) = e^(x+1) dan g(x) = cos(x). Untuk menghitung f.g, kita perlu menggabungkan fungsi-fungsi ini. Dalam hal ini, f.g dapat dihitung sebagai f(g(x)). Dengan menggantikan g(x) dalam f(x), kita dapat menulis f(g(x)) = f(cos(x)). Dalam hal ini, f(g(x)) = e^(cos(x)+1). Dalam hal ini, daerah 10 tidak terkait dengan topik yang sedang dibahas, yaitu relasi pada himpunan bilangan real. Oleh karena itu, kita akan fokus pada pembahasan mengapa relasi ini bukan relasi ekuivalen dan memeriksa sifat transitif dari relasi tersebut. Dalam kesimpulan, relasi |a-b| < 2 pada himpunan bilangan real B bukanlah relasi ekuivalen karena tidak memenuhi sifat refleksif dan simetris. Namun, relasi ini memenuhi sifat transitif. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa relasi ini bukan relasi ekuivalen, tetapi memenuhi sifat transitif.