Menyelesaikan Persamaan Eksponensial \(5^{x^{2}-8x+16}=625\)

Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang bagaimana menyelesaikan persamaan eksponensial yang diberikan, yaitu \(5^{x^{2}-8x+16}=625\). Persamaan ini melibatkan eksponen dan kita perlu mencari nilai \(x\) yang memenuhi persamaan tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan sifat logaritma. Kita dapat mengubah persamaan eksponensial menjadi bentuk logaritma dengan dasar yang sama. Dalam hal ini, kita akan menggunakan logaritma basis 5. Langkah pertama adalah mengubah persamaan menjadi bentuk logaritma. Kita dapat menulis persamaan tersebut sebagai \(\log_{5}(625) = x^{2}-8x+16\). Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut dengan menghitung logaritma basis 5 dari 625. Kita tahu bahwa \(5^{4} = 625\), sehingga \(\log_{5}(625) = 4\). Dengan demikian, persamaan kita menjadi \(4 = x^{2}-8x+16\). Selanjutnya, kita perlu mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk kuadrat. Kita dapat melakukannya dengan mengurangkan kedua sisi persamaan dengan 4, sehingga kita mendapatkan \(0 = x^{2}-8x+12\). Kemudian, kita dapat mencoba untuk memfaktorkan persamaan tersebut. Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan 12 dan jika ditambahkan akan menghasilkan -8. Dalam hal ini, bilangan tersebut adalah -2 dan -6. Dengan demikian, kita dapat menulis persamaan kita sebagai \((x-2)(x-6) = 0\). Selanjutnya, kita perlu mencari nilai \(x\) yang memenuhi persamaan tersebut. Kita tahu bahwa persamaan akan bernilai nol jika salah satu faktornya bernilai nol. Oleh karena itu, kita dapat menyelesaikan persamaan dengan mengatur setiap faktor menjadi nol. Dengan demikian, kita dapat menyelesaikan persamaan dan mendapatkan dua solusi, yaitu \(x = 2\) dan \(x = 6\). Dalam artikel ini, kita telah berhasil menyelesaikan persamaan eksponensial \(5^{x^{2}-8x+16}=625\) dengan menggunakan logaritma dan faktorisasi. Solusi dari persamaan tersebut adalah \(x = 2\) dan \(x = 6\).