Mencari Invers Komposisi dari $(g \circ f)(x)$

Pendahuluan: Dalam matematika, invers komposisi adalah operasi yang mengambil fungsi komposisi dan menghasilkan fungsi inversnya. Dalam kasus ini, kita akan mencari invers komposisi dari $(g \circ f)(x)$, di mana $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 5}$ dan $g(x) = 3x + 1$.

Bagian 1: Menghitung $(g \circ f)(x)$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\frac{2x + 3}{x - 5}\right) = 3\left(\frac{2x + 3}{x - 5}\right) + 1 = \frac{6x + 9}{x - 5} + 1 = \frac{6x + 9 + x - 5}{x - 5} = \frac{ + 4}{x - 5}$

Bagian 2: Mencari Invers Komposisi

Untuk mencari invers komposisi, kita perlu menyelesaikan persamaan $(g \circ f)(x) = y$. Dalam kasus ini, kita memiliki:

$\frac{7x + 4}{x - 5} = y$

Kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan $(x - 5)$ untuk menghilangkan pembagi:

$7x + 4 = y(x - 5)$

Kita dapat mengatur ulang persamaan untuk mendapatkan bentuk standar:

$7x + 4 = yx - 5y$

Kita dapat mengatur ulang persamaan lagi untuk mendapatkan:

$7x = (y + 5)y$

Kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan $(y + 5)$ untuk mendapatkan:

$x = \frac{(y + }{7}$

Kita dapat menyederhanakan persamaan ini untuk mendapatkan:

$x = \frac{5y^2 + 25y}{7}$

Kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan 7 untuk mendapatkan:

$7x = 5y^2 + 25y$

Kita dapat mengatur ulang persamaan untuk mendapatkan:

$5y^2 + 25y - 7x = 0$

Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Dalam kasus ini, kita memiliki:

$a = 5$, $b = 25$, dan $c = -7x$

K mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat untuk mendapatkan:

$y = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4(5)(-7x)}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \sqrt{765 + 140x}}{10} = \frac{-25 \pm \