Menganalisis Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-4} \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep yang penting dalam mempelajari perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-4} \) dan mencoba untuk memahami apa yang terjadi saat \( x \) mendekati 2. Pertama-tama, mari kita evaluasi fungsi ini secara langsung saat \( x \) mendekati 2. Substitusikan \( x = 2 \) ke dalam fungsi: \( \frac{2^{2}+2-6}{2^{2}-4} = \frac{4+2-6}{4-4} = \frac{0}{0} \) Ketika kita mendapatkan bentuk \(\frac{0}{0}\) dalam perhitungan, ini menunjukkan bahwa fungsi tidak terdefinisi pada titik tersebut. Namun, kita dapat menggunakan teknik aljabar untuk menyederhanakan fungsi sebelum menghitung batasnya. Mari kita faktorkan pembilang dan penyebut fungsi: \( \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)} \) Perhatikan bahwa kita dapat membatalkan faktor \( (x-2) \) di pembilang dan penyebut, karena kita tahu bahwa \( x \) tidak sama dengan 2 (karena fungsi tidak terdefinisi pada titik tersebut). Setelah membatalkan faktor-faktor ini, kita mendapatkan: \( \frac{x+3}{x+2} \) Sekarang, kita dapat menghitung batas fungsi saat \( x \) mendekati 2 dengan menggunakan fungsi yang disederhanakan ini: \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+3}{x+2} \) Substitusikan \( x = 2 \) ke dalam fungsi: \( \frac{2+3}{2+2} = \frac{5}{4} \) Jadi, batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-4} \) adalah \( \frac{5}{4} \). Dalam artikel ini, kita telah menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-4} \) dan menggunakan teknik aljabar untuk menyederhanakan fungsi sebelum menghitung batasnya. Hasilnya adalah \( \frac{5}{4} \).