Perhitungan Sinus Sudut dalam Segitiga dengan Perbandingan Sisi-sisi yang Diketahui

Dalam segitiga ABC, diketahui bahwa perbandingan sisi-sisi a:b:c adalah 2:3:4. Tugas kita adalah untuk menghitung sin(A+B). Untuk memulai, kita perlu mengetahui bahwa sin(A+B) dapat dihitung menggunakan rumus sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B). Namun, sebelum kita dapat menggunakan rumus ini, kita perlu mengetahui nilai sin(A) dan sin(B). Dalam segitiga ABC, kita dapat menggunakan perbandingan sisi-sisi untuk menghitung panjang sisi-sisi tersebut. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan perbandingan a:b:c = 2:3:4. Misalnya, jika kita asumsikan panjang sisi a adalah 2x, maka panjang sisi b adalah 3x, dan panjang sisi c adalah 4x. Selanjutnya, kita dapat menggunakan hukum sinus untuk menghitung sin(A) dan sin(B). Hukum sinus menyatakan bahwa sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan sin(A)/2x = sin(B)/3x = sin(C)/4x. Dengan menggabungkan kedua persamaan tersebut, kita dapat menghitung sin(A) dan sin(B). Misalnya, jika kita asumsikan sin(A) = p dan sin(B) = q, maka kita dapat menulis persamaan sin(A)/2x = p/2x dan sin(B)/3x = q/3x. Dengan menyederhanakan persamaan tersebut, kita dapat menghitung nilai p dan q. Misalnya, jika kita mengalikan kedua persamaan dengan 2x dan 3x, kita akan mendapatkan persamaan 2p = 2xsin(A) dan 3q = 3xsin(B). Selanjutnya, kita dapat menggunakan persamaan sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) untuk menghitung sin(A+B). Dalam hal ini, kita telah mengetahui nilai sin(A) dan sin(B) dari perhitungan sebelumnya. Setelah menghitung sin(A+B), kita dapat membandingkannya dengan pilihan jawaban yang diberikan dalam soal. Dalam hal ini, kita dapat melihat bahwa pilihan jawaban yang sesuai adalah A. \( \frac{1}{4} \sqrt{5} \). Dengan demikian, kita telah berhasil menghitung sin(A+B) dalam segitiga ABC dengan perbandingan sisi-sisi yang diketahui.