Menentukan Suku ke-21 dalam Barisan Geometri

Dalam matematika, barisan geometri adalah urutan bilangan di mana setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu rasio tetap. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara menentukan suku ke-21 dalam barisan geometri berdasarkan informasi yang telah diberikan. Diketahui bahwa suku pertama dalam barisan ini adalah \( \sqrt[3]{m} \) dan suku ke-5 adalah \( \sqrt{m^{2}} \), dengan \( m>0 \). Sekarang, mari kita cari tahu suku ke-21 dalam barisan ini. Untuk menentukan suku ke-21, pertama-tama kita perlu mengetahui rasio antara suku-suku berurutan dalam barisan geometri ini. Kita dapat mencari rasio ini dengan membagi suku ke-5 dengan suku pertama. Dalam hal ini, rasio adalah: \[ \frac{{\sqrt{m^{2}}}}{{\sqrt[3]{m}}} \] Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat menyederhanakan akar pangkat tiga dengan mereduksi menjadi akar pangkat dua menggunakan sifat akar: \[ \frac{{\sqrt{m^{2}}}}{{\sqrt[3]{m}}} = \frac{{\sqrt{m^{2}}}}{{(m^{\frac{1}{3}})^{2}}} = \frac{{\sqrt{m^{2}}}}{{m^{\frac{2}{3}}}} \] Kita juga dapat menyederhanakan akar pangkat dua dengan memperhatikan bahwa \(\sqrt{m^{2}}\) sama dengan |m|, karena kita mencari bilangan positif (karena \(m>0\)): \[ \frac{{\sqrt{m^{2}}}}{{m^{\frac{2}{3}}}} = \frac{{|m|}}{{m^{\frac{2}{3}}}} \] Setelah mendapatkan rasio ini, kita dapat menggunakannya untuk menentukan suku ke-21. Kita dapat menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan geometri: \[ S_n = S_1 \times r^{(n-1)} \] Di sini, \(S_n\) adalah suku ke-n, \(S_1\) adalah suku pertama, \(r\) adalah rasio, dan \(n\) adalah urutan suku yang ingin kita cari. Dalam kasus ini, kita ingin mencari suku ke-21, jadi \(n=21\). Suku pertama \(S_1\) sudah diberikan sebagai \( \sqrt[3]{m} \). Rasio \(r\) adalah \(\frac{{|m|}}{{m^{\frac{2}{3}}}}\). Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita dapat menghitung suku ke-21: \[ S_{21} = \sqrt[3]{m} \times \left(\frac{{|m|}}{{m^{\frac{2}{3}}}}\right)^{20} \] Dengan menggabungkan pangkat dan akar dalam rumus ini, kita dapat menyederhanakannya menjadi: \[ S_{21} = \sqrt[3]{m} \times \frac{{|m|^{20}}}{{m^{\frac{40}{3}}}} \] Jadi, suku ke-21 dalam barisan geometri ini adalah \(S_{21} = \sqrt[3]{m} \times \frac{{|m|^{20}}}{{m^{\frac{40}{3}}}}\). Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat menentukan suku ke-21 dalam barisan geometri berdasarkan informasi yang telah diberikan.