Mencari Nilai dari \( \tan \theta \) dalam Persamaan \( 2 \cos ^{2} \theta=1+2 \sin 2 \theta \)

Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada tugas untuk mencari nilai dari suatu fungsi trigonometri dalam persamaan tertentu. Salah satu persamaan yang menarik untuk dipecahkan adalah \( 2 \cos ^{2} \theta=1+2 \sin 2 \theta \). Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai dari \( \tan \theta \) dalam persamaan ini. Untuk memulai, mari kita perhatikan persamaan \( 2 \cos ^{2} \theta=1+2 \sin 2 \theta \). Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk mengubah persamaan ini menjadi bentuk yang lebih sederhana. Misalnya, kita dapat menggunakan identitas \(\cos ^{2} \theta=1-\sin ^{2} \theta\) untuk menggantikan \(\cos ^{2} \theta\) dalam persamaan tersebut. Setelah menggantikan, persamaan menjadi \(2(1-\sin ^{2} \theta)=1+2 \sin 2 \theta\). Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikannya dan mengelompokkan suku-suku yang serupa. Setelah melakukan langkah-langkah tersebut, kita akan mendapatkan persamaan \(2-2 \sin ^{2} \theta=1+2 \sin 2 \theta\). Selanjutnya, kita dapat mengubah persamaan ini menjadi bentuk kuadrat dengan menggabungkan suku-suku yang serupa. Setelah melakukan langkah-langkah tersebut, kita akan mendapatkan persamaan \(2 \sin ^{2} \theta+2 \sin 2 \theta-1=0\). Sekarang, kita dapat menggunakan metode faktorisasi untuk mencari akar-akar dari persamaan ini. Setelah melakukan langkah-langkah tersebut, kita akan mendapatkan persamaan \((2 \sin \theta-1)(\sin \theta+1)=0\). Dari persamaan ini, kita dapat melihat bahwa ada dua kemungkinan nilai untuk \(\sin \theta\), yaitu \(\sin \theta=\frac{1}{2}\) dan \(\sin \theta=-1\). Untuk mencari nilai dari \(\tan \theta\), kita dapat menggunakan identitas trigonometri \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\). Jika \(\sin \theta=\frac{1}{2}\), maka kita dapat mencari nilai dari \(\cos \theta\) menggunakan identitas trigonometri \(\cos ^{2} \theta=1-\sin ^{2} \theta\). Setelah menggantikan nilai \(\sin \theta\) yang diberikan, kita akan mendapatkan \(\cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Dengan demikian, nilai dari \(\tan \theta\) adalah \(\tan \theta=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Sedangkan jika \(\sin \theta=-1\), maka kita dapat mencari nilai dari \(\cos \theta\) menggunakan identitas trigonometri \(\cos ^{2} \theta=1-\sin ^{2} \theta\). Setelah menggantikan nilai \(\sin \theta\) yang diberikan, kita akan mendapatkan \(\cos \theta=0\). Namun, kita tidak dapat menggunakan identitas \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) dalam kasus ini, karena pembaginya adalah nol. Oleh karena itu, kita tidak dapat menentukan nilai dari \(\tan \theta\) dalam kasus ini. Dalam kesimpulan, kita telah mencari nilai dari \(\tan \theta\) dalam persamaan \(2 \cos ^{2} \theta=1+2 \sin 2 \theta\). Nilai dari \(\tan \theta\) adalah \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) ketika \(\sin \theta=\frac{1}{2}\). Namun, kita tidak dapat menentukan nilai dari \(\tan \theta\) ketika \(\sin \theta=-1\).