Menghitung Besar dari \( |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| \)

Dalam matematika, terdapat berbagai operasi yang dapat dilakukan pada vektor. Salah satu operasi yang sering digunakan adalah perkalian silang atau cross product. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang bagaimana menghitung besar dari \( |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| \), di mana \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah vektor satuan yang diberikan. Sebelum kita melangkah lebih jauh, mari kita pahami terlebih dahulu apa itu vektor satuan. Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1. Dalam kasus ini, \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah vektor satuan yang diberikan, dengan komponen-komponen sebagai berikut: \[ \begin{array}{l} \mathbf{A}=5 \mathbf{i}+2 \mathbf{j} \\ \mathbf{B}=2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j} \end{array} \] Untuk menghitung besar dari \( |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| \), kita perlu menggunakan rumus perkalian silang. Rumus ini diberikan oleh: \[ |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{B}| \cdot \sin(\theta) \] di mana \(|\mathbf{A}|\) dan \(|\mathbf{B}|\) adalah panjang dari vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) secara berturut-turut, dan \(\theta\) adalah sudut antara kedua vektor tersebut. Dalam kasus ini, karena \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah vektor satuan, maka panjang dari keduanya adalah 1. Oleh karena itu, rumus tersebut dapat disederhanakan menjadi: \[ |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = \sin(\theta) \] Untuk menghitung sudut antara kedua vektor, kita dapat menggunakan rumus berikut: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{B}|} \] di mana \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) adalah hasil dari perkalian dot atau dot product antara \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\). Dalam kasus ini, kita memiliki: \[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (5 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}) \cdot (2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}) = 10+6 = 16 \] dan \[ |\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{B}| = 1 \cdot 1 = 1 \] Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita dapat menghitung sudut \(\theta\): \[ \cos(\theta) = \frac{16}{1} = 16 \] Namun, kita perlu ingat bahwa \(\theta\) adalah sudut antara kedua vektor, sehingga kita perlu mengambil arccos dari nilai ini untuk mendapatkan sudut yang benar. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan kalkulator untuk menghitung arccos dari 16, yang akan memberikan kita sudut sekitar 0.2925 radian. Sekarang, kita dapat menggantikan nilai sudut ini ke dalam rumus awal untuk menghitung besar dari \( |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| \): \[ |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = \sin(0.2925) \approx 0.2879 \] Jadi, besar dari \( |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| \) adalah sekitar 0.2879. Dalam artikel ini, kita telah membahas tentang bagaimana menghitung besar dari \( |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| \), di mana \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah vektor satuan yang diberikan. Kami telah menggunakan rumus perkalian silang dan rumus sudut untuk menghitung nilai ini. Semoga artikel ini bermanfaat dan membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik.