Menyelesaikan Persamaan Z^6 + Z^4 = 2 dan Menghitung Jumlah dari |Zi|^4

Persamaan \(z^6 + z^4 = 2\) adalah persamaan polinomial dengan derajat 6. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu mencari akar-akarnya, yaitu \(z_1, z_2, z_3, z_4, z_5, z_6\). Langkah 1: Mengubah Persamaan Menjadi Bentuk Faktorisasi Kita dapat mengubah persamaan ini menjadi bentuk faktorisasi dengan mengamati bahwa \(z^4\) adalah kuadrat dari \(z^2\). Dengan demikian, kita dapat menulis persamaan ini sebagai \((z^2)^3 + (z^2)^2 = 2\). Langkah 2: Menggunakan Substitusi Mari kita lakukan substitusi dengan \(u = z^2\). Dengan substitusi ini, persamaan menjadi \(u^3 + u^2 = 2\). Langkah 3: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Persamaan \(u^3 + u^2 = 2\) adalah persamaan kuadrat dengan derajat 3. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan metode faktorisasi atau metode numerik seperti metode Newton-Raphson. Langkah 4: Mencari Akar-akar Persamaan Setelah kita menyelesaikan persamaan kuadrat, kita dapat mencari akar-akarnya, yaitu \(u_1, u_2, u_3\). Langkah 5: Menghitung Akar-akar Persamaan Asli Karena kita menggunakan substitusi \(u = z^2\), kita perlu menghitung akar-akar persamaan asli, yaitu \(z_1, z_2, z_3, z_4, z_5, z_6\). Dalam hal ini, kita dapat menggunakan akar kuadrat dari \(u_1, u_2, u_3\) untuk mendapatkan akar-akar persamaan asli. Langkah 6: Menghitung Jumlah dari |Zi|^4 Setelah kita menemukan akar-akar persamaan asli, kita dapat menghitung jumlah dari \(|z_1|^4, |z_2|^4, |z_3|^4, |z_4|^4, |z_5|^4, |z_6|^4\) dengan mengkuadratkan masing-masing akar dan menjumlahkannya. Dengan demikian, kita dapat menulis \( \sum_{i=1}^{6}\left|z_{i}\right|^{4} = |z_1|^4 + |z_2|^4 + |z_3|^4 + |z_4|^4 + |z_5|^4 + |z_6|^4\). Kesimpulan: Dalam artikel ini, kita telah menyelesaikan persamaan \(z^6 + z^4 = 2\) dengan mencari akar-akarnya, yaitu \(z_1, z_2, z_3, z_4, z_5, z_6\). Kemudian, kita menghitung jumlah dari \(|z_1|^4, |z_2|^4, |z_3|^4, |z_4|^4, |z_5|^4, |z_6|^4\) dengan mengkuadratkan masing-masing akar dan menjumlahkannya.